华东师范大学 2010 年 考研 量子力学

                     

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1. 计算题(共 95 分)

1. 试用变分法求解三维空间间如下势中 $V(r) = -\frac{aV_0 e^{-r/a}}{r}$（其中 $V_0 > 0, \ a > 0$）的粒子的基态能量，试探波函数取为 $\psi(r) \propto e^{-\alpha r}$。（本题 15 分）
2. 某二能级系统的能量本征值分别为 $E_1^{(0)}$, $E_2^{(0)}$ ($ > E_3^{(0)}$)，对应的能量本征态为 $|1\rangle$，$|2\rangle$。今引入厄米微扰相互作用 $H'$，且知：$\langle 1|H'|1\rangle = 0$，$\langle 2|H'|2\rangle = 0$，$\langle 1|H'|2\rangle = \epsilon$。试用非简并微扰论求引入微扰相互作用后的能量本征态（至一级近似）及其本征值（至二级近似）。（本题 15 分）
3. 设波函数 $\psi(x) = A \left(\frac{x}{a}\right)^n e^{-\frac{x}{a}}$ 是一维势场 $V(x)$ 中的能量本征态，其中 $A, n, a$ 为常数，且已知当 $x \to \infty$ 时，$V(x) \to 0$。试求该本征态的能量 $E$ 和位势 $V(x)$。（本题 20 分）