华东师范大学 2010 年考研量子力学

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1. 计算题(共 95 分)

试用变分法求解三维空间间如下势中 $V (r) = - \frac{a V_{0} e^{- r / a}}{r}$ （其中 $V_{0} > 0, a > 0$ ）的粒子的基态能量，试探波函数取为 $ψ (r) \propto e^{- α r}$ 。（本题 15 分）
某二能级系统的能量本征值分别为 $E_{1}^{(0)}$ , $E_{2}^{(0)}$ ( $> E_{3}^{(0)}$ )，对应的能量本征态为 $| 1 ⟩$ ， $| 2 ⟩$ 。今引入厄米微扰相互作用 $H^{'}$ ，且知： $⟨ 1 | H^{'} | 1 ⟩ = 0$ ， $⟨ 2 | H^{'} | 2 ⟩ = 0$ ， $⟨ 1 | H^{'} | 2 ⟩ = ϵ$ 。试用非简并微扰论求引入微扰相互作用后的能量本征态（至一级近似）及其本征值（至二级近似）。（本题 15 分）
设波函数 $ψ (x) = A {(\frac{x}{a})}^{n} e^{- \frac{x}{a}}$ 是一维势场 $V (x)$ 中的能量本征态，其中 $A, n, a$ 为常数，且已知当 $x \to \infty$ 时， $V (x) \to 0$ 。试求该本征态的能量 $E$ 和位势 $V (x)$ 。（本题 20 分）