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证明 $i\left(\hat{P}_x^2\hat{X} - \hat{X}\hat{P}_x^2\right)$ 是厄米算符。
已知一维系统解出其定态薛定谔方程 $\hat{H} \psi_n(x) = E_n \psi_n(x), \psi_n(x)$ 为实数，在 $t=0$ 时刻，对系统进行测量，发现 $\frac{1}{2}$ 的几率得能量 $E_1$ 有 $\frac{1}{3}$ 的几率得能量 $E_2$，有 $\frac{1}{6}$ 的几率得能量 $E_3$。请:
(a)按实系数写出 $t=0$ 时刻波函数 $\psi(x, t=0)$
(b)求出 $t$ 时刻波函数 $\psi(x, t)$
(c)求出 $t$ 时刻能量的测量值
(d)求出 $t$ 时刻位置 $X$ 的期待值。(提示：可用 $X_{ij} = \int \psi_i^* x_j dx$ 表示)。
设泡利矩阵 $\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_Y$ 满足 $\hat{\sigma}_x^2 = \hat{\sigma}_Y^2 = 1$, 且 $\hat{\sigma}_x \hat{\sigma}_Y + \hat{\sigma}_Y \hat{\sigma}_x = 0,$ 求：
如果类氢原子核不是点电荷，而是半径为 $r_0 $ 的电荷均匀分布的小球，根据电动力学知，当 $r > r_0 $，荷电小球外，势能分布与点电荷产生的势能一样，但在 $r < r_0$ 时，势能为 $$-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{Ze^2}{r_0} \left( \frac{3}{2} - \frac{r^2}{2r_0^2} \right) \right]~$$ 请计算此对应于类氢原子基态能量的第一极修正。
类氢原子基态波函数：$$\Psi_{100} = \sqrt{\frac{Z}{\pi a^3}} e^{-Zr/a} \text{，当 } r < r_0 \text{ 时，} \frac{r}{a} \to 0~$$