宇宙中的距离

贡献者： boymike17; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　FRW 度规，宇宙学红移

1. 非可观测距离

　　为了有利于定义可观测距离，我们首先定义非观测距离。也称为度规距离。FRW 度规可以写成以下形式

\begin{equation} ds^2=-dt^2+a(t)^2(d\chi^2+S^2_k (\chi) d\Omega^2)~, \end{equation}

其中

未完成：[xxx]

　　 度规距离可以被定义为空间度规中立体角的因子

\begin{equation} d_m=S_k(\chi)~. \end{equation}

　　当取平直宇宙的情况，即 $k=0$ 时，度规距离可退化为共动距离（comoving distance） $\chi$. 共动距离可以用宇宙学红移因子 $z$ 和哈勃常数 $H(z)$ 来表达，具体可写成

\begin{equation} \chi(z)=\int^{t_0}_{t_1} \frac{dt}{a(t)}=\int^z_0 \frac{dz}{H(z)}~. \end{equation}

这里需要强调，度规距离和共动距离都是非可观测距离。

2. 光度距离

　　由于 Type IA 超新星被认为是一个拥有绝对光度 $L$ 的星体（每秒发出恒定的能量）, 所以此类星体被称作标准烛光（standard candle）。Type IA 超新星爆发的光通过宇宙传到地球后，地球上观测到的能流密度 $F$(单位面积每秒所观测到的能量)可以用于测量距离。我们先假设某一静止 Type IA 超新星，能流 $F$ 与此超新性的共动距离 $\chi$ 的关系为

\begin{equation} F=\frac{L}{4\pi \chi^2}~. \end{equation}

然而，由于宇宙的膨胀，在 FRW 度规中，上述关系可以被以下三个原因所修正：

　　 1、在时间 $t_0$ 时刻超新星的光到达地球，超新星的光穿过地球的固有面积为 $4\pi d_m^2$;

　　 2、在膨胀的宇宙中，以地球作为参照系，超新星在往后退，所以要除以一个宇宙学红移因子 $1+z$;

　　 3、相对于超新星，地球也在往后退，所以地球接收到的光子也会产生效应，因而需要再次除以一个宇宙学红移因子 $1+z$

　　所以，能流 $F$ 与距离的正确关系应为

\begin{equation} F=\frac{L}{4\pi d_m (1+z)^2}~. \end{equation}

3. 角距离

未完成：内容