函数的算符
贡献者： addis
未完成：定积分算符
算符（也叫算子）可以理解为 “函数的函数”，即一个函数经过算符作用可以得到另一个算符。例如将一个函数乘以一个数 $\lambda$ 或另一个函数，又例如对一个函数求导（微分算符）等等。
例 1
令算符 $ \hat{A} $ 为
\begin{equation}
\hat{A} = \sin\left(x\right) ~,
\end{equation}
那么它作用在函数 $f(x)$ 上就是
\begin{equation}
\hat{A} f(x) = \sin\left(x\right) f(x)~.
\end{equation}
令算符 $ \hat{B} $ 为
\begin{equation}
\hat{B} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1~,
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\hat{B} f(x) = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) f(x) = \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + f(x)~.
\end{equation}
令算符 $ \hat{C} $ 为
\begin{equation}
\hat{C} = \hat{A} \hat{B} = \sin\left(x\right) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) ~,
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\hat{C} f(x) = \hat{A} [ \hat{B} f(x)] = \sin\left(x\right) \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + \sin\left(x\right) f(x)~.
\end{equation}
令算符 $ \hat{D} $ 为
\begin{equation}
\hat{D} = \hat{A} + \hat{B} ~,
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\hat{D} f(x) = \hat{A} f(x) + \hat{B} f(x)~.
\end{equation}
令算符 $ \hat{E} $ 为
\begin{equation}
\hat{E} = { \hat{B} }^2~.
\end{equation}
相当于 $ \hat{B} $ 对某函数作用两次，即
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{E} f(x) &= \hat{B} [ \hat{B} f(x)] = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) \left[ \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + f(x) \right] \\
&= \frac{\mathrm{d}^{2}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2 \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + f(x)~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以也可以将这个过程简写为
\begin{equation}
\hat{B} ^2 = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) ^2 = \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1~.
\end{equation}
1. 线性
若一个算符 $ \hat{A} $ 对两个不同的函数 $f, g$ 和两个不同的常数满足
\begin{equation}
\hat{A} (f + g) = \hat{A} f + \hat{A} g~.
\end{equation}
是
线性的。