函数的算符

贡献者： addis

预备知识　导数

　　

未完成：定积分算符

　　算符（也叫算子）可以理解为 “函数的函数”，即一个函数经过算符作用可以得到另一个算符。例如将一个函数乘以一个数 $λ$ 或另一个函数，又例如对一个函数求导（微分算符）等等。

例 1　

　　令算符 $\hat{A}$ 为

\begin{matrix} (1) & \hat{A} = \sin (x), \end{matrix}

那么它作用在函数

f (x)

上就是

\begin{matrix} (2) & \hat{A} f (x) = \sin (x) f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{B}

为

\begin{matrix} (3) & \hat{B} = \frac{d}{d x} + 1, \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (4) & \hat{B} f (x) = (\frac{d}{d x} + 1) f (x) = \frac{d f (x)}{d x} + f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{C}

为

\begin{matrix} (5) & \hat{C} = \hat{A} \hat{B} = \sin (x) (\frac{d}{d x} + 1), \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (6) & \hat{C} f (x) = \hat{A} [\hat{B} f (x)] = \sin (x) \frac{d f (x)}{d x} + \sin (x) f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{D}

为

\begin{matrix} (7) & \hat{D} = \hat{A} + \hat{B}, \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (8) & \hat{D} f (x) = \hat{A} f (x) + \hat{B} f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{E}

为

\begin{matrix} (9) & \hat{E} = {\hat{B}}^{2} . \end{matrix}

相当于

\hat{B}

对某函数作用两次，即

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \hat{E} f (x) & = \hat{B} [\hat{B} f (x)] = (\frac{d}{d x} + 1) [\frac{d f (x)}{d x} + f (x)] \\ = \frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} + 2 \frac{d f (x)}{d x} + f (x) . \end{aligned} \end{matrix}

所以也可以将这个过程简写为

\begin{matrix} (11) & {\hat{B}}^{2} = {(\frac{d}{d x} + 1)}^{2} = \frac{d^{2}}{d x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} + 1 . \end{matrix}

1. 线性

　　若一个算符 $\hat{A}$ 对两个不同的函数 $f, g$ 和两个不同的常数满足

\begin{matrix} (12) & \hat{A} (f + g) = \hat{A} f + \hat{A} g . \end{matrix}

是线性的。

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