贡献者: addis
牛顿有一个很形象的思想实验:若不考虑大气阻力,大炮在水平方向发射的炮弹开始时近似做抛物线(图 1 中落入地面的两条轨道),但由于地球是圆的,但当炮弹的初速度足够大时,它将飞出地球。那么在落向地面和飞出地球之间就很可能存在一个临界速度,可以使得炮弹绕地球做圆周运动(不考虑大气阻力)。
那么使用所谓的微元法1,我们是否可以认为当炮弹做圆周运动时,它在每一小段可以近似看作是在做平抛运动(水平发射的抛物线)呢?答案是可以的,且这些小段分割得越短,这个近似就越准确。
这就是为什么月亮和人造卫星不会掉下来。从某种意义上他们每时每刻都在往下掉!但这要相对于直线运动而言——如果没有地球的引力,他们将做直线运动飞出地球。
通过微元法,我们甚至可以推导出圆周运动的向心加速度,过程见最后。
另一种用微元法解释圆周运动的方式是使用线段代替圆。这也是古代人在计算圆周率时使用的 “割圆术”。
想象看似做圆周运动的质点实际上实在沿着一个正 $N$ 边形做匀速运动。显然,在每个线段中匀速运动时,根据牛顿第一定律,质点不需要受任何外力。但在拐点处,我们可以想象它和一面墙发生了完全弹性碰撞(也就是没有能量损失的碰撞,类似镜面反射,碰撞后速度不变)。每次这样的碰撞中,墙壁都正面向圆心的方向。
当多边形的边数变得足够多时,多边形逐渐逼近圆形,且不连续的碰撞对球产生的脉冲力也可以近似看成是连续的向心力了。如果把这些力平均一下,同样可以推导出向心加速度的公式。
通过这种方式,我们甚至可以推导出圆周运动的向心加速度。且这个加速度就是平抛运动中物体向下的加速度。
每个抛物运动中,若时间为 $\Delta t$,则转过的角度为
每段抛物线的长度近似为
注意 $\Delta\theta$ 不但是炮弹转过的角度,也是炮弹绕圆心旋转的角度。
另外考虑到圆的弧长公式 $\Delta l = R\Delta\theta$,那么
为了更好地理解为何向心力会产生圆周运动,我们可以假设一个小球在光滑水平面运动的过程中被反弹若干次,使得它的轨道称为闭合的正 $N$ 边形,每个顶点距离中心为 $R$。每次撞击后,速度不变,方向改变 $2\theta = 2\pi/N$。
所以在每次碰撞时,我们可以把速度垂直分解为径向(指向圆心)和角向速度。碰撞后角向速度不变,径向速度增量为 $2v\sin\theta$,即动量改变为
1. ^ 高中经常把微积分中不断细分的思想称为 “微元法”,但要严格地证明这样的方法是对的,应该学习微积分。