贡献者： 周思益
大尺度结构和 CMB 数据允许测试暗物质的行为。全局拟合更倾向于最简单的冷非相互作用暗物质模型，具有高斯绝热扰动。下面，我们总结这意味着什么并提出当前的限制。
人们可以修改宇宙学扰动的玻尔兹曼方程，用具有非零声速 $v_s$ 的更复杂的暗流体（使暗物质不再冷）和/或粘度（使暗物质相互作用）或修改后的状态方程 $w = \varphi/\rho \neq 0$（使暗物质不再表现为非相对论性物质）来替代暗物质。全局拟合 CMB 数据给出了这些参数在 $10^{-3}$ 数量级的限制。
关于绝热性:玻尔兹曼方程必须针对每个组分和任何尺度 $k$ 从远在物质/辐射平等之前的时刻开始求解初始条件。CMB 数据很好地拟合了假设绝热初始条件：一个原始不均匀性对所有组分都是共同的
\begin{equation}
\delta_k = \delta_{bk} = 3\Theta_0(k) = 3N_0(k)~.
\end{equation}
光子和中微子的因子 $3$ 仅仅是因为 $\Theta_0$ 和 $N_0$ 定义为温度中的不均匀性而不是密度中的不均匀性。
式 1 意味着每种组分的密度与总密度成比例，因此整体效应可以用几何原始曲率（或者等效地，引力势）来描述。这样的绝热初始条件出现在最简单的暴胀模型中，其中所有的原始不均匀性都是由一个 “暴胀子” 标量场的量子涨落产生的。量子力学预测了这些涨落的统计分布，而不是个别测量的具体结果。这就是为什么所有可观测量都是在空间上平均的，或者在具有不同取向的傅里叶模式上平均。
关于高斯性:我们专注于最简单的两点关联函数，$\langle a_{lm}a_{l'm'}\rangle = \delta_{ll'}\delta_{mm'} C_l$ 和
$\langle \delta_k \delta_{k'}\rangle = (2\pi)^3 P(k) \delta^3(k - k')$。原因是，具有可忽略相互作用的自由标量场（如具有其准平坦势的暴胀子）的量子涨落遵循高斯分布（因为这是非相互作用谐振子的基态）。高斯原初不均匀性由两点关联函数完全确定，由功率谱描述。高斯不均匀性适合 CMB 和大尺度结构数据。然而暴胀子也可能有相互作用，导致曲率扰动 $\zeta$ 的概率分布中出现非高斯
\begin{equation}
\phi(\zeta) \sim \exp \left( -\frac{\zeta^2}{2\langle\zeta^2\rangle} - \frac{\langle\zeta^3\rangle\zeta^3}{\langle\zeta^2\rangle^3} + \cdots \right) = \exp \left( -\frac{\zeta^2}{2\langle\zeta^2\rangle} (1 + f_{\text{NL}}\zeta + \cdots) \right) ~.
\end{equation}
其中非零三点函数被一个参数 \( f_{\text{NL}} \sim \frac{\langle\zeta^3\rangle}{\langle\zeta^2\rangle^2} \) 描述。单场暴胀可以假设一个几乎平坦的暴胀子势，对应于一个小的慢滚参数 \( \epsilon \sim 0.01 \)，这样几乎不相互作用的暴胀子产生 \( P_\zeta \sim \langle\zeta^2\rangle \sim \frac{H^2_{\text{inf}}}{M^2_{\text{Pl}}\epsilon} \) 和一个小的 \( f_{\text{NL}} \sim \epsilon \)。这远低于当前由 CMB 数据暗示的非高斯性界限，\( f_{\text{NL}} \lesssim 10^{-2} \)。未来的 CMB 和大尺度结构数据可以将对 \( f_{\text{NL}} \) 的灵敏度提高一个和两个数量级。甚至更低的值可能通过未来的 21 厘米实验来探测。然而，仍然很难设计非最小暴胀模型来提供 \( f_{\text{NL}} \) 的信号。回到绝热性的问题—在暴胀背景下，额外的不均匀性可能产生，例如，来自其他一些场的独立量子涨落，这些场在暴胀期间恰好足够轻。从现象学角度来看，考虑所谓的等曲率涨落是方便的。这些违反了
式 1 ，通过将不同的不均匀性归因于不同的物种，但不影响总能量密度中的不均匀性，从而不影响曲率。我们对原初暗物质密度中的等曲率涨落感兴趣 \( \Delta_{\text{iso}}(k) = \frac{\delta\rho_k^{\text{DM}}}{\rho_{\text{DM}}} \)，对应于功率谱 \( \Delta^2_{\text{iso}} = \frac{k^3P_{\text{iso}}}{2\pi^2} \)。那么在 $1/k$ 尺度上的暗物质密度的涨落将与标准模型粒子的涨落不同。全局拟合 Planck 数据要求绝热涨落占主导：
\begin{equation}
\frac{P_{\text{iso}}(k)}{P_{\text{iso}}(k) + P_{\text{adi}}(k)} < 0.038 \quad \text{在百分之 95 置信度 }\quad k = 0.05/\text{Mpc} ~.
\end{equation}
这个界限适用于在物质/辐射平等时期进入视界的尺度 $1/k$ 的涨落，使得 \( \Delta^2_{\text{adi}} \approx 2.2 \times 10^{-9} \) 很好地被 CMB 探测。更小的、次宇宙学尺度上的等曲率涨落没有受到限制（例如，在星系尺度上）。粗略地说，暗物质具有与普通物质相同的涨落表明两者之间早期存在某种联系，并限制了可行的暗物质产生机制。
到目前为止，我们假设暗物质没有相互作用。如果暗物质粒子除了引力之外还受到其他额外的相互作用，那么描述暗物质引力聚类的方程就会被修改。
如果暗物质与中微子相互作用1，这通常会通过碰撞阻尼抑制暗物质原初密度涨落，从而在 CMB 各向异性功率谱和物质功率谱中留下明显的标志。粗略的总结是，当前数据将暗物质/中微子相互作用截面限制在 \( \sigma_{\text{暗物质}/\nu} \lesssim 10^{-32} (\frac{M}{\text{GeV}})^2 cm^2\)（假设没有温度依赖性），不同研究发现了一个数量级较弱或更强的限制。
暗物质与光子的相互作用只要足够弱就仍然是可行的。现象学与暗物质与中微子的相互作用相似（首先近似中微子和光子在 CMB 时期仅仅是两种形式的辐射）。粗略的总结是，当前数据再次将暗物质/光子相互作用截面限制在 \( \sigma_{\text{DM}/\gamma} \lesssim \mathcal{O}(1) \times 10^{-33} (\frac{M}{\text{GeV}})^2 cm^2\)（假设没有温度依赖性）。这个限制并不强。在暗物质与光子相互作用是由于暗物质带有小电量的情况下，存在明显更强的限制。
1. 大爆炸核合成
从 CMB 数据的全局拟合得到的普通物质密度与从宇宙大爆炸核合成得出的独立精确测定一致。大爆炸核合成是一个理论框架，描述了宇宙中轻元素（大部分的氘和氦-4 以及相当一部分的氦-3 和锂-7）的合成，起始于它们的构建块：原始等离子体中存在的自由质子和中子。更准确地说，大爆炸核合成对重子-光子比率 $\eta \equiv n_b/n_\gamma$ 敏感，因为光子会破坏原子核，延迟它们的形成温度。测量给出
\begin{equation}
\eta = (6.2 \pm 0.4) \times 10^{-10} \Rightarrow \Omega_b h^2 = 0.022 \pm 0.002~.
\end{equation}
与 CMB 值一致。为了得到上述第二个关系，我们使用了 $ \Omega_b \equiv \rho_b/\rho_{crit} = \eta n^0_\gamma m_p/\rho_{crit}$，其中 $m_p$ 是质子质量，$n^0_\gamma$ 是当前光子数密度。两个确定的重子密度的一致性被视为标准宇宙学模型的一个重大成功，为宇宙的演化在这个模型内被很好地理解提供了信心。大爆炸核合成探测的宇宙阶段比 CMB 更早，即在显著更高的温度 $T \sim MeV$，相比之下 CMB 的温度是 $T \sim eV$。$\Omega_b$ 满足 $\Omega_b < \Omega_{matter} \simeq 0.30$，其中 $\Omega_{matter}$ 包括所有形式的物质，为暗物质提供了进一步的证据。这是作为非重子物质所必需的，并且对于结构形成是必需的。大爆炸核合成的结果在历史上特别重要，在 CMB 和大尺度结构测量足够精确以能够单独确定重子和暗物质的相对比例之前。
1. ^ 不要与当前天体物理系统中暗物质/中微子在更高能量下的相互作用混淆。