贡献者： addis; 钱昭霖
1. 描述一个态
我们用如下记号：$|\alpha\rangle$ 来描述一个态，这种描述也称为 “右矢”。从某种程度上，它可以理解为我们线性代数里面学过的列矢量：
\begin{equation}
|\alpha\rangle = \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{matrix}\right)~.
\end{equation}
当然，这么写出来的话，肯定要指明我们是在怎样的一组坐标下面来进行这个描述的。一旦清楚的说明坐标了之后，这个态的意义也就明确了起来。在量子力学的课程中，一个很容易造成困扰的概念就是 “叠加态”。请大家一定记住，叠加态并不是什么奇怪的事情。比如，你在三维直角坐标系中，有一个点 $(1, 1, 1)/\sqrt3$，你会觉得 “不可思议！竟然可以同时处于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的混合态” 吗？不会吧。所以，在量子力学里面，你也不必对此大惊小怪——大家其实是同样的数学结构。
有右矢自然就有左矢——从代数学的角度来讲，一个右矢对应的左矢，即是它的 Hermitian 共轭1，通常会用 $h. c$ 来表示（Hermitian Conjugation）。共轭大家肯定知道，就是复数里面把辐角取反即可了，但是如果在此基础上再做一个转置的话，就构成了 Hermitian 共轭，形成了左矢，也就是一个行向量。
\begin{equation}
\langle\alpha| = (x_1^*\ x_2^*\ \cdots\ x_n^*)~.
\end{equation}
举一个简单的例子，
例 1
如果规定
\begin{equation}
|\alpha\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix} \mathrm{i} \\1\end{matrix}\right) ~,
\end{equation}
那么
\begin{equation}
\langle\alpha| = \frac{1}{\sqrt{2}}(- \mathrm{i} , 1)~.
\end{equation}
左矢和右矢之间可以做内积，就像一个行矢量和列矢量做内积（乘法）一样，得到一个数 $\langle\alpha|\beta\rangle = x \in \mathbb{C}$。还是刚才那个例子，
例 2
\begin{equation}
\langle\alpha|\alpha\rangle = 1~.
\end{equation}
这样一组对应的左矢和右矢内积得 1 的称为单位向量，也叫归一的向量，归一的态，等等很多叫法。如果一个态没有归一，对它进行归一化的过程为
\begin{equation}
|\beta\rangle\rightarrow\frac{|\beta\rangle}{\sqrt{\langle\beta|\beta\rangle}}~.
\end{equation}
这里面其实用到了内积的一个小性质：$\langle\alpha|\beta\rangle = (\langle\beta|\alpha\rangle)^*$。读者可以验证一下。
我们说了这么久的态，但是我们知道在波动力学里面，我们描述一个态是利用它的波函数，一般是坐标的函数 $\psi(x)$。这个和我们的态有什么关系呢？
其实很有关系的。我先不着急透露，我们先想想内积的几何意义。$\langle\alpha|\beta\rangle$ 是不是相当于求出 $|\beta\rangle$ 是有多少成分在 $|\alpha\rangle$ 上么？也就是说，
\begin{equation}
|\beta\rangle = \langle\alpha|\beta\rangle|\alpha\rangle + \text{ 与}|\alpha\rangle\text{垂直的成分}~.
\end{equation}
那我们考虑这么一组态2，$|x\rangle$，它们代表一个态被完全的限制在了 $x$ 处无法移动。那么，一个归一的态 $|\psi\rangle$ 如果能写成坐标空间的波函数形式的话，其最有可能的样子就是
\begin{equation}
\psi(x) = \langle x|\psi\rangle~.
\end{equation}
由于无论是波函数还是态矢量（右矢），差一个复数相位都是不会有什么区别的，所以我们的粒子在 $x\rightarrow x'+\Delta x'$ 找到的概率，就像一般的量子力学问题里面说的那样，是
\begin{equation}
\int_{x'}^{x'+\Delta x'}|\psi(x)|^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{x'}^{x'+\Delta x'} \langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle~.
\end{equation}
如果对全空间积分，这个概率是 1，也就是说
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle = 1~.
\end{equation}
这是一个平凡的结论，但是实际上这很有一点深意的，本章中间的部分可以看到。
捎带说一句，像 $\langle x|\alpha\rangle$ 这样，可以叫 $|\alpha \rangle$ 的 $x$ 表象。类似的还有动量表象等。不同表象之间的变换等问题随后会讲。
2. 算符
首先介绍一个很重要的算符：单位算符。别急，这个是很无聊，但是却有很重要的作用。而且，我们介绍的并不是那么无聊的形式。
考虑一组完备正交归一的态 $|\lambda_i\rangle$。单位算符 $I$ 就可以写成
\begin{equation}
I = \sum_i |\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|~,
\end{equation}
这就被称为 resolution of identity。为了便于理解，我们来举一个例子。
例 3
三维空间一个矢量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \boldsymbol{\mathbf{i}} + v_y \boldsymbol{\mathbf{j}} + v_z \boldsymbol{\mathbf{k}} ~.
\end{equation}
其中，$v_x, v_y, v_z$ 可以通过 $\langle i\ (or\ j, k)|v\rangle$ 得到。
也就是说，
\begin{equation}
\begin{split}
|v\rangle &= v_x|i\rangle + v_y|j\rangle + v_z|k\rangle = |i\rangle\langle i|v\rangle + |j\rangle\langle j|v\rangle + |k\rangle\langle k|v\rangle\\ &= (|i\rangle\langle i|+|j\rangle\langle j|+|k\rangle\langle k|)|v\rangle~.
\end{split}
\end{equation}
正如式 11 ，我们有
\begin{equation}
|\alpha\rangle = \sum_i |\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\alpha\rangle~,
\end{equation}
还有很多一般的关于算符的理论。相信通过前面的理解，我们知道算符在某一组特定的正交完备归一基 $|\lambda_i\rangle$ 下可以表示为矩阵，而矩阵元
\begin{equation}
A_{ij} = \langle\lambda_i|A|\lambda_j\rangle~.
\end{equation}
一个物理量显然是一个实数，这实际上要求了它对应的算符是 Hermitian 算符，即
\begin{equation}
\hat{A} = \hat{A} ^\dagger ,\quad i.e.,\quad A_{ij} = A_{ji}^*~.
\end{equation}
（实际上，在满足 $\mathcal{PT}$ 对称性下这两件事情并不完全一致，不是 Hermitian 算符也可以得到全部实数的本征值，在章中不考虑这种事情）而不是物理量的算符并不非要是 Hermitian 的，如
\begin{equation}
\left(\begin{matrix}0 & 1\\0 & 0\end{matrix}\right) \quad \& \quad \left(\begin{matrix}0 & 0\\1 & 0\end{matrix}\right)~.
\end{equation}
介绍几个重要的二维 Hermitian：
\begin{equation}
\sigma_0 = \left(\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right)~,
\quad\sigma_1 = \left(\begin{matrix} 0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right)~,
\quad\sigma_2 = \left(\begin{matrix} 0 & - \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{matrix}\right)~,
\quad\sigma_3 = \left(\begin{matrix} 1 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right)~.
\end{equation}
上面四个矩阵被称为
Pauli 矩阵，有的时候也会写成四维（矩阵）矢量的形式，$ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} $。
这四个矩阵十分重要，尤其是在研究自旋 $1/2$ 体系的时候。这部分内容在后面讲角动量的时候你会时常见到。
关于算符还有很多内容，考虑到这是一个启发性的讲义，这里就不赘述了。我们可以从 Exercise 里面逐步学习：
习题 1
定义
\begin{equation}
\hat{A} = \left(
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 & \cdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots\\
0 & 0 & \sqrt{3} & \cdots\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)~.
\end{equation}
求出下面算符的本征态和对应的本征值：
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{A} ^\dagger \hat{A} + \frac{1}{2}~.
\end{equation}
接下来我们看一下算符的对易关系，其实与其相关的矩阵的对易关系想必你们都学过：
\begin{equation}
\begin{split}
[\hat{A},\hat{B}] \overset{def}{\equiv}\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}~,\\
\{\hat{A},\hat{B}\} \overset{def}{\equiv}\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}~.\\
\end{split}
\end{equation}
这里不仅介绍了对易，也介绍了反对易。这两者同样常见，不同的是，前者经常出现于玻色体系，而后者经常出现于费米体系。
习题 2
在习题 1 中，我们定义了算符 $\hat{A}$。那么，请计算
\begin{equation}
[\hat{A},\hat{A} ^\dagger ] = ?~.
\end{equation}
习题 3
试证明，对于 $\forall \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$
\begin{equation}
[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]] + [\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]] + [\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]] = 0~.
\end{equation}
接下来简要介绍一下算符的完备性，证明暂时略去。可以证明的是，存在逆的 Hermitian 算符，即存在 $\hat{B}\hat{A} = I$ 的时候，如果这个 Hermitian 算符的本征态维数有限，那么这个本征态是完备的。如果无限维，这件事情不一定成立。至于有人问为什么无限维会带来 bug 呢？举个简单的例子证明无限维的时候好多概念都用不了。
例 4
定义3一个无限维的完备正交归一解为 $|i\rangle, i = 0, 1, \cdots \infty$，那么考虑算符
\begin{equation}
A = \sum_{i = 0}^{\infty} |i\rangle\langle i+1|,\quad B = \sum_{i = 1}^{\infty}|i\rangle\langle i-1|~.
\end{equation}
那么，显然有
\begin{equation}
AB = I,\quad BA = I - |0\rangle\langle0|~.
\end{equation}
也就是说，逆矩阵这件事情实际上在无限维的时候定义有一定困难。
以上就是关于算符的一些一般性质。
3. 特殊的算符
我们知道，大多数情况下，一个粒子的哈密顿量都会包含动能部分，而动能的表示又是依靠动量的。很常见的，我们就会考虑动量算符 $\hat p$。这个算符的本征态和对应的本征值为
\begin{equation}
\hat p|p_0\rangle = p_0 |p_0\rangle~.
\end{equation}
而由于是连续的谱，归一化条件将是利用 delta 函数的
\begin{equation}
\langle p_1|p_2\rangle = \delta(p_1-p_2)~,
\end{equation}
这种连续的谱也会发生在坐标算符 $\hat x$ 上。类似的有
\begin{equation}
\hat x|x_0\rangle = x_0 |x_0\rangle~,
\end{equation}
\begin{equation}
\langle x_1|x_2\rangle = \delta(x_1-x_2)~.
\end{equation}
我们前面介绍过的 resolution of identity，这里的形式也需要改变：
\begin{equation}
\int \,\mathrm{d}{p} |p\rangle\langle p| = I~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int \,\mathrm{d}{x} |x\rangle\langle x| = I~.
\end{equation}
不过这些都是小变化，仔细想想的话，其实很容易理解。
我们接下来要考虑的实际上是一个非常奇怪的问题：$\langle p|x\rangle = ?$。答案很简单，形式为
\begin{equation}
\langle p|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} px/\hbar}~.
\end{equation}
但是具体怎么做的呢？我们先看一个貌似与这个问题并不是很相关的问题：平移问题。
让我们考虑沿着 $x$ 方向的平移算符 $\hat{\mathcal J}$:
\begin{equation}
\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )|x'\rangle = |x'+ \,\mathrm{d}{x'} \rangle~.
\end{equation}
有了这组性质之后我们实际上可以得到任何态 $|\alpha\rangle$ 是如何在这样一个平移下变换的，因为我们可以把它展开成坐标本征态的线性组合
\begin{equation}
\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )|\alpha\rangle = \int\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )|x'\rangle\langle x'|\alpha\rangle \,\mathrm{d}{x'} = \int|x'+ \,\mathrm{d}{x'} \rangle\langle x'|\alpha\rangle \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
有几点值得注意：这个算符满足很多性质，比如它是 Unitary 的，再比如说它是非常常见的可以线性组合的
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )\hat{\mathcal{J}} ^\dagger ( \,\mathrm{d}{x'} ) = 1\\
\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x''} ) = \hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} + \,\mathrm{d}{x''} )\\
\hat{\mathcal{J}}(- \,\mathrm{d}{x'} ) = \hat{\mathcal{J}}^{-1}( \,\mathrm{d}{x'} )\\
\hat{\mathcal{J}}(0) = I
\end{cases}~.
\end{equation}
考虑到量子力学的基本假设
4，$[x,p] = \mathrm{i} \hbar$，我们注意到
\begin{equation}
\hat{x}\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )|x'\rangle = (x'+ \,\mathrm{d}{x'} )|x'+ \,\mathrm{d}{x'} \rangle~,
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )\hat{x}|x'\rangle = x'|x'+ \,\mathrm{d}{x'} \rangle~.
\end{equation}
也就是说
\begin{equation}
[\hat{x},\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )] \sim \,\mathrm{d}{x'} ~,
\end{equation}
这里面的约等于号是考虑到 $|x'+ \,\mathrm{d}{x'} \rangle \sim |x'\rangle$。利用在 $ \,\mathrm{d}{x'} \rightarrow0$ 的时候 $\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )\rightarrow1$，我们得到
\begin{equation}
\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} ) \sim 1-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\hat{p} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
例 5
可以证明 $\hat{P}$ 是 Hermitian 的。一般这种问题的做法是看矩阵元，比如我有一套本征态 $|i\rangle$，定义 $P_{ij} \equiv \langle i|P|j\rangle$。如果他是 Hermitian 的，那么 $P_{ij} = P_{ji}^*$。但是这里的话，我们没有办法选取离散的本征态，不过即使只是连续本征态，也是可以的。最直觉的做法就是选取坐标本征态，我们规定 $P(x,x') = \langle x|P|x'\rangle$。我们只需要证明 $P(x,x') = P(x',x)^*$。这里简要地给出一个 “令人信服” 但不那么严格的说法。
我们有一个最方便的办法来计算，就是利用 $ \,\mathrm{d}{x'} $ 很小的时候的 $\hat{\mathcal{J}}( \,\mathrm{d}{x'} )$。
\begin{equation}
\langle x|\hat{\mathcal{J}}(a)|x'\rangle \sim \langle x|x'\rangle - \frac{ \mathrm{i} }{\hbar} a \langle x|P|x'\rangle~.
\end{equation}
也就是说
\begin{equation}
P(x,x') \sim \mathrm{i} \frac{\hbar}{a}[\langle x|\hat{\mathcal{J}}(a)|x'\rangle - \langle x|x'\rangle] = \mathrm{i} \frac{\hbar}{a}[\langle x|x'+a\rangle - \langle x|x'\rangle]~,
\end{equation}
而很类似的
\begin{equation}
P(x',x) \sim \mathrm{i} \frac{\hbar}{a}[\langle x'|x+a\rangle - \langle x'|x\rangle]~,
\end{equation}
\begin{equation}
P(x,x')^* \sim - \mathrm{i} \frac{\hbar}{a} [\langle x'+a|x\rangle - \langle x'|x\rangle] = \mathrm{i} \frac{\hbar}{a} [\langle x'|x\rangle - \langle x'+a|x\rangle]~.
\end{equation}
取 $a\rightarrow0$，上面的式子严格等于，而且两者的关系更一目了然。
4. 投影算符
这是一个概念，看起来并不是很有趣，但是我们在后面学习微扰理论 的时候会发现它很重要。
它一般指这样一个算符：我们现在有一组正交完备归一的基 $\{|\alpha_i\rangle\}$。我们很关心一个初始在 $|\alpha_j\rangle$ 的基的行为，并且可以预料到，在其刚刚开始演化的时候，其大部分成分都还这个态上。这就有点像你把一根直线转了一个小角度，它沿原来方向的分量还是很大，如图 1 。
图 1：偏移一点的矢量与投影
很显然的，这个投影算符就可以用 $|\alpha_j\rangle\langle\alpha_j|$ 来表示。我们还是利用我们之前介绍过的一个例子来说明。
例 6
三维空间一个矢量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \boldsymbol{\mathbf{i}} + v_y \boldsymbol{\mathbf{j}} + v_z \boldsymbol{\mathbf{k}} ~.
\end{equation}
如果我要获得它的 $x$ 方向的投影，我首先要保证它在 $x$ 方向上，其次要保证它的大小。于是，最后得到
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _x = v_x \boldsymbol{\mathbf{i}} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{i}} ) \boldsymbol{\mathbf{i}} = \langle i|v\rangle |i\rangle = |i\rangle\langle i| \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
投影算符不仅指投影到一个方向的，还指投影到一个平面上的投影算符，或者投影到 Hilbert 空间上更 “高维度” 的空间。
这个投影算符虽然现在看起来没有什么用，但是后面你会看到它的作用的。几个有趣的性质读者可以作为练习
习题 4
请读者证明：如果 $\hat{P}$ 是投影算符，则
(1) $\hat{P}\hat{P} = \hat{P}$
(2) $1-\hat{P}$ 也是投影算符。
5. 算符的函数
我们很多时候可以写一些算符的函数来简化算符。大部分时候这种函数都是一目了然的，比如 $\hat{A}^2 = \hat{A}\cdot\hat{A}$，但有的时候也存在一些很微妙的东西。值得注意的是，无论什么时候，都要记得算符不一定是可对易的。
一个简单的函数，$f(\hat{A}) = \hat{A}^2$ 就容易造成初学者的失误。比如
\begin{equation}
f(\hat{A}+\hat{B}) = \hat{A}^2 + \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} + \hat{B}^2~.
\end{equation}
稍微复杂点的函数，比如
\begin{equation}
\exp\left(\hat{A}\right) = I + \hat{A} + \frac{1}{2!}\hat{A}^2 + \cdots~
\end{equation}
也是非常常见的一种算符函数。
习题 5
考虑一个体系，它的 Hilbert 空间是二维的，并且计 $\left(\begin{matrix}1 \\0\end{matrix}\right) = |\!\uparrow\rangle, \left(\begin{matrix}0 \\1\end{matrix}\right) = |\!\downarrow\rangle$。现在有一个算符
\begin{equation}
\hat{U} = \exp\left( \mathrm{i} \alpha(t) \sigma_x\right) ~.
\end{equation}
其中，$\sigma_x$ 是
式 18 定义的 Pauli 矩阵，那么求
\begin{equation}
\hat{U} \left(\begin{matrix}1 \\0\end{matrix}\right) = ? ~.
\end{equation}
显然，我们有
\begin{equation}
\hat U= I_{2\times2} + \alpha(t) \sigma_x + \frac{1}{2!}\left(\alpha(t) \sigma_x\right)^2 + \dots~,
\end{equation}
由于 Pauli 矩阵有很好的性质：
\begin{equation}
\sigma_x^2 = I_{2\times2}~.
\end{equation}
我们有
\begin{equation}
\begin{split}\hat U &= \left(1 - \frac{1}{2!}\alpha(t)^2 + \frac{1}{4!}\alpha(t)^4 \cdots\right) I_{2\times2} + \left(\alpha(t) + \frac{1}{3!}\alpha(t)^3 + \cdots \right) \mathrm{i} \sigma_x\\
& = \cos\alpha(t) I_{2\times2} + \sin\alpha(t) \mathrm{i} \sigma_x ~.
\end{split}
\end{equation}
从而，我们有
\begin{equation}
\hat U \left(\begin{matrix}1 \\0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\cos\alpha(t) \\ \mathrm{i} \sin\alpha(t)\end{matrix}\right)~,
\end{equation}
这个例子实际上在我们后面看到动力学分析中是一个很常见的``量子演化问题''的基本处理。以后 我们会再次看到这个问题的。
以上是一个带答案的练习，现在我们出一个证明性的练习。
习题 6
求证：
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{\hat A}\hat B \mathrm{e} ^{-\hat A} = \hat{B} + [\hat A,\hat B] + \frac{1}{2!} [\hat A, [\hat A,\hat B]] + \cdots~.
\end{equation}
这个等式叫做 Baker-Hausdorff formula，我们可能会经常地遇到这个式子。
6. $^\star$ 密度矩阵，与量子信息基本概念
量子信息可以说是只要具备完善的量子力学知识就能够入门，但是入的好不好得看初等数学功力的一个方向。
量子信息里面一个重要的概念就是密度矩阵。对于纯态（Pure State），即一个可以被用态矢量描述的态，归一态矢量为 $|\psi\rangle$，其密度矩阵可以用
\begin{equation}
\hat\rho_{\psi} = |\psi\rangle\langle\psi|~
\end{equation}
来描述。这样的描述可以略去态矢量的相位，是自由度更小的更 “好” 的描述。
纯态密度矩阵有很多性质，比如
\begin{equation}
\hat\rho = \hat\rho ^\dagger ,\ \text{Tr}(\hat\rho) = 1,\ \text{Tr}(\hat\rho^2) = 1~.
\end{equation}
这是由于
\begin{equation}
\rho^2 = |\psi\rangle\langle\psi|\psi\rangle\langle\psi| = |\psi\rangle\langle\psi| = \rho~,
\end{equation}
一个算符在这个态下的平均值
\begin{equation}
\langle\hat O\rangle = \langle\psi|\hat O|\psi\rangle = \text{Tr}(\hat O\hat \rho)~
\end{equation}
与纯态相对的是
混态（Mixed State）。我们来想这么一个问题：纯态就是一个态，按照统计的观点，它的熵就是 $\ln 1 = 0$。而如果我们这个体系描述的东西内部很复杂，各个态之间自发的跳动，我们不能简单的用一个态来描述，怎么办呢？我们仍然能用密度矩阵来描述。一个最基本的要求就是这个密度矩阵的性质得和纯态一致，即
\begin{equation}
\hat\rho = \hat\rho ^\dagger ,\ \text{Tr}(\hat\rho) = 1~.
\end{equation}
一个算符在这个态下的平均值
\begin{equation}
\langle\hat O\rangle = \langle\psi|\hat O|\psi\rangle = \text{Tr}(\hat O\hat \rho)~,
\end{equation}
我们再来看看密度矩阵的一些行为。由于它是 Hermitian，我们通过某种对角化，显然可以把密度矩阵写成
\begin{equation}
\rho = \sum_i\lambda_i|i\rangle\langle i|,\quad \sum_i\lambda_i = 1,\quad \forall i\lambda_i > 0 ~.
\end{equation}
这部分有点数学，而且有的时候并不有趣，我们来看一个练习。
习题 7
假设存在一系列的密度矩阵 $\rho_j$，和一些复数 $c_j, \sum c_j = 1 \& \forall j, c_j>0$。证明：
\begin{equation}
\sum_j c_j \rho_j~
\end{equation}
也是一个密度矩阵。
一个系统处于某个态的时候可以求它的熵，其中，目前广泛接受并应用的熵是 von Neumann 熵，其定义为
\begin{equation}
S=-\text{Tr}(\hat\rho\ln\hat\rho)=-\sum_i\lambda_i\ln\lambda_i~.
\end{equation}
当然，对于纯态，$S=0$，但是对于混态则不然。会想热力学，我们知道熵有一个很有趣的结论，我们这里留作练习。
习题 8
von Neumann 熵满足两个系统的混杂会增大熵，数学上讲也就是
\begin{equation}
S[\lambda\hat\rho_1+(1-\lambda)\hat\rho_2]\ge\lambda S[\hat\rho_1]+(1-\lambda) S[\hat\rho_2],\quad \forall \hat\rho_1,\rho_2,\quad 0<\lambda<1~.
\end{equation}
试证明这点（答案：Nielsen
5, section 11.3.5）。
有的时候，我们要考虑多粒子的问题。当然真正的量子多粒子问题我们在 “全同粒子的统计” 中再仔细考虑，我们这里先看一些简单的情况，比如定域的（从而就不需要考虑全同性了）。有两个粒子 $a, b$，其各自 Hilbert 空间为 $\mathcal{H}_a, \mathcal{H}_b$。那么，整体 Hilbert 空间，代数的讲，就变成了两个粒子各自 Hilbert 空间的张量积6：$\mathcal{H} = \mathcal{H}_a\otimes \mathcal{H}_b$。这时候我们定义约化密度矩阵”（reduced density matrix），来得到单粒子的信息。比如，我们如果想了解 $a$ 粒子，那么就可以写它的对 $a$ 的约化密度矩阵 $\hat\rho_a=\text{Tr}_b(\hat\rho)$，其是通过对 $\mathcal{H}_b$ 做部分取迹做到的。技术上讲，这是通过用一组完备的基 $|\phi_i\rangle \in\mathcal{H}_b$ 来做到的：
\begin{equation}
\langle\psi_1\hat\rho_a|\psi_2\rangle=\sum_i\langle\psi_1\otimes\phi_i|\hat\rho|\psi_2\otimes\phi_i\rangle~,
\end{equation}
我们用一个练习来结束这一部分。
习题 9
求 trace 自然会发生很多事情，一个显然的事情就是两体关联的失去：
\begin{equation}
\begin{split}
S_{a\otimes b}[\hat\rho]&=\text{Tr}_{a\otimes b}(-\hat\rho\ln\hat\rho)\le S_a[\hat\rho_a]+S_b[\hat\rho_b]\\
&=\text{Tr}_a(-\hat\rho_a\ln\hat\rho_a)+\text{Tr}_b(-\hat\rho_b\ln\hat\rho_b)=S_{a\otimes b}[\hat\rho_a\otimes\hat\rho_b]~.
\end{split}
\end{equation}
试证明这一点（答案：Trace
7），并验证对于 Bell 基，比如
\begin{equation}
|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle-|1\rangle|0\rangle)~,
\end{equation}
这个不等式是成立的。
这是量子信息论的一个经常需要考虑的事情，很多量子信息相关的书，比如 XiaoGang Wen 的书8 都介绍了这点，在此不再赘述。
我们这里再讲有关密度矩阵的一个知识：在有限温度的时候，密度矩阵如何表示（一般我们处理的时候都是处理零温问题，不考虑统计分布）。其实很简单：
\begin{equation}
\rho= \exp\left(-\hat{H}/k_BT\right) /Z~.
\end{equation}
其中，$Z=\text{Tr} \exp\left(-\hat{H}/k_BT\right) $。更多的关于密度矩阵，量子信息的内容就不在此赘述了。
7. 测量，不确定性原理
测量发生于一个 Hermitian 算符 $\hat A$ 在纯态或者混态 $\hat\rho$ 上。最终得到的结果是算符 $\hat A$ 的本征值 $\lambda$，而测量得到这个本征值 $\lambda$ 的概率是 $P_\lambda=\text{Tr}(\hat{P}_\lambda\hat\rho)$，而这里 $\hat P_\lambda=\sum|\hat{A}=\lambda\rangle\langle\hat{A}=\lambda|$ 是投影算符。可以想象，统计上来说，平均的测量值是 $\hat A$ 在态 $\hat\rho$ 上的期待值，也就是 $\text{Tr}(\hat A\hat\rho)=\sum_\lambda \lambda P_\lambda$。其中，对于纯态，就是简单的 $\langle\psi|\hat A|\psi\rangle, \hat\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$。
量子力学有几个假设，其中比较有名的（你们或许在此前就听说过）就是``塌缩''假设：如果测量的结果是 $\lambda$，那么这个量子态就会塌缩到 ${\hat P_\lambda\hat\rho\hat P_\lambda}/{\text{Tr}(\hat P_\lambda\hat\rho)}$。特例就是当本征值为 $\lambda$ 的态只有一个的话，系统就会塌缩到 $|\hat{A}=\lambda\rangle$ 上。下面一个练习是对这一点的直接应用。
习题 10
考虑一个系统，它的态可以用角动量 $l$、角动量 $z$ 分量 $m$ 的共同本征态展开为
\begin{equation} \begin{aligned}
|\psi\rangle = &\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}|l=1,m=1\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|l=1,m=0\rangle+\frac{1}{2}|l=1,m=-1\rangle\right) \\
&+ \frac{1}{\sqrt{2}}|l=0,m=0\rangle~.
\end{aligned} \end{equation}
现在测它的角动量 $z$ 分量，测到 $m=0$。求测量完的体系处于什么态（用密度矩阵和态矢分别写出）。
量子信息学的一个很重要的（也看起来很平庸的）结论是：通过测量，我们得到了信息。而得到了信息也就是说，熵见笑了。这换成数学语言就是说
\begin{equation}
S[\hat\rho]\ge\sum_\lambda P_\lambda S[\hat\rho_\lambda]~.
\end{equation}
其中，$\hat\rho_\lambda$ 表示测量到塌缩到的 $\lambda$ 态。我们看一个例子。
习题 11
考虑一个密度矩阵
\begin{equation}
\hat\rho =\frac{1}{4}[\mathbb{I}-\sigma_1\otimes\sigma_2]~.
\end{equation}
1. 求验算：它是否是一个纯态？
2. 定义算符 $\hat A=\sigma_1\otimes\sigma_0$，求它的本征值，并定义投影到这些本征值的投影算符，计算进行该算符的测量后得到各个本征值的概率，并验证我们之前对于测量得到信息的结论。
接下来，也就是本章的最后，我们来看不确定性原理。
对于 Hermitian 算符 $\hat A\&\hat B$，不确定原理告诉我们
\begin{equation}
(\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2)(\langle\hat B^2\rangle-\langle\hat B\rangle^2)\ge\frac{1}{4}|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2~.
\end{equation}
其中，$\langle\cdot\rangle$ 是其在某个量子态 $\hat\rho$ 下的期待值。
证明如下：首先，定义所谓两个算符（不一定是 Hermitian）的内积：
\begin{equation}
(\hat A, \hat B)=\langle\hat A ^\dagger \hat B\rangle = \text{Tr}(\hat A ^\dagger \hat B\hat\rho)~.
\end{equation}
不难看出，它是满足内积的性质的（线性、共轭）。
现在考虑两个新的算符 $\hat A'=\hat A-\langle\hat A\rangle, \hat B'=\hat B-\langle\hat B\rangle$，此时
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{4}|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2&=\frac{1}{4}|\langle[\hat A',\hat B']\rangle|^2 \\
&=\frac{1}{2}(\hat A',\hat B')(\hat B',\hat A')-\frac{1}{4}(\hat A',\hat B')^2-\frac{1}{4}(\hat B',\hat A')^2\\
&=[\text{Im}(\hat A',\hat B')]^2\\
&\le |(\hat A',\hat B')|^2\le(\hat A',\hat A')(\hat B',\hat B')\\
&=(\langle\hat A^2\rangle - |\langle\hat A\rangle|^2)(\langle\hat B^2\rangle - |\langle\hat B\rangle|^2)~.
\end{split}
\end{equation}
补充几个练习题
习题 12
如果 $[\hat A,\hat B]=\hat B^2$，用 $\hat B$ 表示 $ \mathrm{e} ^{\hat A}\hat B \mathrm{e} ^{\hat A}$。
习题 13
矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为三维矢量，而 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} $ 则是 Pauli 矩阵的矢量，计算 $[ \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} , B\cdot \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} ]$
习题 14
矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 为三维实数矢量，而 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} $ 则是 Pauli 矩阵的矢量，计算 $ \exp\left( \mathrm{i} \theta \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \right) $，并计算 $ \exp\left( \mathrm{i} \theta \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \right) ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} ) \exp\left(- \mathrm{i} \theta \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \right) $
1. ^ 其实这有约定俗成的翻译：厄米；然而，这个翻译实在是不能达意，我并不打算使用它。
2. ^ 实际上有不可数无穷个态，而且归一的办法和我们之前说的不完全一样，但是这里就先不管数学上这样会不会带来问题了
3. ^ 从这里开始，后面很可能有的时候算符不写它的那个 “帽子” $\hat{\ }$ 了。
4. ^ 我后面可能会总结一下基本假设，但也可能不总结了 orz
5. ^ M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, 2010).
6. ^ 张量积的矩阵表达：$A\otimes B$ 就是把 $A$ 中的每个元素 $A_{ij}$ 变成一个矩阵 $A_{ij}\cdot B$。
7. ^ H. Araki and E. H. Lieb, Communications in Mathematical Physics 18, 160 (1970).
8. ^ B. Zeng, X. Chen, D. Zhou, and X. Wen, ArXiv e-prints (2015), arXiv:1508.02595 [cond-mat.str-el].
