安培力定律（综述）

                     

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　　 在静磁学中，两根载流导线之间的吸引或排斥力（见下方第一幅图）通常被称为安培力定律。这种力的物理来源是每根导线根据毕奥-萨伐尔定律产生磁场，而另一根导线则根据洛伦兹力定律受到磁力作用。

1. 公式

特殊情况：两条直平行导线

　　 安培力定律中最为人熟知且最简单的例子（在 2019 年 5 月 20 日之前[1]）用来定义电流的国际单位制（SI）单位安培。该定律表述，两条直平行导线之间的每单位长度的磁力为： \[ \frac{F_m}{L} = 2k_{\text{A}} \frac{I_1 I_2}{r},~ \] 其中：\( k_{\text{A}} \) 是由毕奥-萨伐尔定律定义的磁力常数；\( \frac{F_m}{L} \) 是单位长度上的总磁力（在较短导线上，较长导线被近似为相对于较短导线无限长）；\( r \) 是两导线之间的距离；\( I_1 \) 和 \( I_2 \) 是两导线中传输的直流电流。

　　 这种公式在以下情况下是良好的近似：如果一根导线的长度远大于另一根，可以将较长的导线近似为无限长； 如果两根导线之间的距离相对于导线的长度较小（使得无限长导线近似成立），但同时相对于导线的直径又较大（使得导线可以被近似为无限细的线）。\( k_{\text{A}} \) 的值取决于所选的单位系统，而 \( k_{\text{A}} \) 的值决定了电流单位的大小。

　　 在国际单位制（SI）中[2][3]： \[ k_{\text{A}} = \frac{\mu_0}{4\pi},~ \] 其中：\( \mu_0 \) 是磁常数（在国际单位中，称为真空磁导率）。

　　 SI 单位中，磁常数的值为： \[ \mu_0 = 1.25663706212(19) \times 10^{-6} \, \text{H/m}.~ \]

一般情况

　　 针对任意几何形状的磁力的一般公式基于迭代线积分，并将毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹力结合在一个公式中，具体如下：[4][5][6] \[ \mathbf{F}_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{L_1} \int_{L_2} \frac{I_1 d\boldsymbol{\ell}_1 \times \left( I_2 d\boldsymbol{\ell}_2 \times \hat{\mathbf{r}}_{21} \right)}{|r|^2},~ \] 其中：

　　 若需确定材料介质中导线之间的磁力，则需要将磁常数 \( \mu_0 \) 替换为介质的实际磁导率。

　　 通过展开向量三重积并应用斯托克斯定理，该定律可以以以下等效形式重写：[7] \[ \mathbf{F}_{12} = -\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{L_1} \int_{L_2} \frac{\left( I_1 d\boldsymbol{\ell}_1 \cdot I_2 d\boldsymbol{\ell}_2 \right) \hat{\mathbf{r}}_{21}}{|r|^2}.~ \] 在这种形式下，可以立即看出，由导线 2 对导线 1 施加的力与由导线 1 对导线 2 施加的力大小相等方向相反，这与牛顿第三定律一致。

2. 历史背景

图
图 1：安培原始实验的示意图

　　 1873 年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦推导出了通常表述的安培力定律，这是与安培和高斯的原始实验一致的多种表达式之一。关于两个直线电流 \(I\) 和 \(I'\) 之间的力的 \(x\) 分量（见相邻图示），安培在 1825 年和高斯在 1833 年分别给出了如下公式：[8] \[ dF_x = kII' ds' \int ds \frac{ \cos\left(x ds\right) \cos\left(r ds'\right) - \cos\left(rx\right) \cos\left(ds ds'\right) }{r^2}.~ \] 安培之后，众多科学家（包括威廉·韦伯、鲁道夫·克劳修斯、麦克斯韦、伯恩哈德·黎曼、赫尔曼·格拉斯曼和瓦尔特·里茨）对这一表达式进行了发展，试图寻找磁力的基本表达式。通过微分计算可以得到： \[ \frac{ \cos\left(x\,ds\right) \cos\left(r\,ds'\right) }{r^2} = - \cos\left(rx\right) \frac{\cos \varepsilon - 3 \cos \phi \cos \phi'}{r^2},~ \] 以及： \[ \frac{ \cos\left(rx\right) \cos\left(ds\,ds'\right) }{r^2} = \frac{ \cos\left(rx\right) \cos \varepsilon}{r^2}.~ \] 基于这些表达式，安培力定律可以进一步表示为： \[ dF_x = kII' ds' \int ds' \cos\left(rx\right) \frac{2 \cos \varepsilon - 3 \cos \phi \cos \phi'}{r^2}.~ \] 此外，使用以下关系： \[ \frac{\partial r}{\partial s} = \cos \phi,\ \frac{\partial r}{\partial s'} = -\cos \phi',~ \] 以及： \[ \frac{\partial^2 r}{\partial s \partial s'} = \frac{-\cos \varepsilon + \cos \phi \cos \phi'}{r}.~ \] 可以将安培的结果表示为： \[ d^2F = \frac{kII' ds ds'}{r^2} \left( \frac{\partial r}{\partial s} \frac{\partial r}{\partial s'} - 2r \frac{\partial^2 r}{\partial s \partial s'} \right).~ \] 麦克斯韦指出，该表达式中可以添加关于函数 \(Q(r)\) 的导数项，这些项在积分时会相互抵消。麦克斯韦给出了与实验事实一致的 “最通用形式”： \[ d^2F_x = kII' ds ds' \frac{1}{r^2} \left[ \left( \frac{\partial r}{\partial s} \frac{\partial r}{\partial s'} - 2r \frac{\partial^2 r}{\partial s \partial s'} + r \frac{\partial^2 Q}{\partial s \partial s'} \right) \cos\left(rx\right) + \frac{\partial Q}{\partial s'} \cos\left(x\,ds\right) - \frac{\partial Q}{\partial s} \cos\left(x\,ds'\right) \right].~ \]

　　 麦克斯韦指出，对于一个封闭电路，函数 \(Q(r)\) 的形式无法通过实验直接确定。假设 \(Q(r)\) 的形式为： \[ Q = -\frac{(1+k)}{2r}.~ \] 我们得到 ds 上由 ds' 施加的力的一般表达式： \[ d^{2}\mathbf{F} = -\frac{kII'}{2r^{2}} \left[ \left(3-k\right)\hat{\mathbf{r}}_{1}\left(d\mathbf{s} \, d\mathbf{s}'\right) - 3\left(1-k\right)\hat{\mathbf{r}}_{1}\left(\hat{\mathbf{r}}_{1} d\mathbf{s}\right)\left(\hat{\mathbf{r}}_{1} d\mathbf{s}'\right) - \left(1+k\right)d\mathbf{s}\left(\hat{\mathbf{r}}_{1} d\mathbf{s}'\right) - \left(1+k\right)d\mathbf{s}'\left(\hat{\mathbf{r}}_{1} d\mathbf{s}\right) \right].~ \] 通过对 \(s'\) 的积分可以消去 \(k\)，从而恢复安培和高斯给出的原始表达式。因此，就安培的原始实验而言，\(k\) 的取值并没有实际意义。安培取 \(k = -1\)；高斯取 \(k = +1\)，格拉斯曼和克劳修斯也取 \(k = +1\)，不过克劳修斯忽略了 \(S\) 分量。在非以太电子理论中，韦伯取 \(k = -1\)，而黎曼取 \(k = +1\)。里兹在其理论中未明确指定 \(k\) 的值。如果取 \(k = -1\)，我们得到安培的表达式： \[ d^{2}\mathbf{F} = -\frac{kII'}{r^{3}}\left[2\mathbf{r}(d\mathbf{s} \, d\mathbf{s'}) - 3\mathbf{r}(\mathbf{r} d\mathbf{s})(\mathbf{r} d\mathbf{s'})\right]~ \] 如果取 \(k=+1\)，我们得到： \[ d^{2}\mathbf{F} = -\frac{kII'}{r^{3}}\left[\mathbf{r}(d\mathbf{s} \, d\mathbf{s'}) - d\mathbf{s}(\mathbf{r} \, d\mathbf{s'}) - d\mathbf{s'}(\mathbf{r} \, d\mathbf{s})\right]~ \]

　　 利用三重叉积的矢量恒等式，可以将结果表示为： \[ d^{2}\mathbf{F} = \frac{kII'}{r^{3}}\left[\left(d\mathbf{s} \times d\mathbf{s'} \times \mathbf{r}\right) + d\mathbf{s'}(\mathbf{r} \, d\mathbf{s})\right]~ \] 对 \(d\mathbf{s'}\) 积分时，第二项为零，因此可以得到麦克斯韦形式的安培力定律： \[ \mathbf{F} = kII'\iint \frac{d\mathbf{s} \times (d\mathbf{s'} \times \mathbf{r})}{|r|^{3}}~ \]

3. 从一般公式推导平行直导线的情形

　　 从一般公式开始： \[ \mathbf{F}_{12} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{L_{1}} \int_{L_{2}} \frac{I_{1} d\boldsymbol{\ell}_{1} \times (I_{2} d\boldsymbol{\ell}_{2} \times \hat{\mathbf{r}}_{21})}{|r|^{2}},~ \] 假设导线 2 位于 \(x\)-轴上，导线 1 位于 \(y=D, z=0\)，与 \(x\)-轴平行。令 \(x_1, x_2\) 分别表示导线 1 和导线 2 的微小线元的 \(x\)-坐标。换句话说，导线 1 的微小线元位于 \((x_1, D, 0)\)，而导线 2 的微小线元位于 \((x_2, 0, 0)\)。根据线积分的性质：\(d\boldsymbol{\ell}_1 = (dx_1, 0, 0)\) 且 \(d\boldsymbol{\ell}_2 = (dx_2, 0, 0).\)

　　 此外， \[\hat{\mathbf{r}}_{21} = \frac{1}{\sqrt{(x_1-x_2)^2 + D^2}}(x_1-x_2, D, 0),~\] 且 \[|r| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + D^2}.~\] 因此积分为： \[ \mathbf{F}_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} \int_{L_1} \int_{L_2} \frac{(dx_1, 0, 0) \times \left[(dx_2, 0, 0) \times (x_1-x_2, D, 0)\right]}{|(x_1-x_2)^2 + D^2|^{3/2}}.~ \] 计算叉积： \[ \mathbf{F}_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} \int_{L_1} \int_{L_2} dx_1 dx_2 \frac{(0, -D, 0)}{|(x_1-x_2)^2 + D^2|^{3/2}}~ \] 接下来对 \(x_2\) 从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\) 积分： \[ \mathbf{F}_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} \frac{2}{D}(0, -1, 0) \int_{L_1} dx_1.~ \] 如果导线 1 也是无限长的，则积分会发散，因为两条无限长平行导线之间的总吸引力是无限大的。实际上，我们真正关心的是导线 1 单位长度上的吸引力。因此，假设导线 1 有一个很大但有限的长度 \(L_1\)。那么导线 1 受到的力矢量为： \[ \mathbf{F}_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} \frac{2}{D}(0, -1, 0)L_1.~ \] 正如预期的那样，导线受到的力与其长度成正比。单位长度上的力为： \[ \frac{\mathbf{F}_{12}}{L_1} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi D}(0, -1, 0)~ \] 力的方向沿 \(y\)-轴，这表示如果电流是平行的，导线 1 会被拉向导线 2。单位长度的力大小与上文给出的 \(\frac{F_m}{L}\) 表达式一致。

4. 著名推导

　　 按时间顺序排列：

5. 另见

6. 参考文献和注释

　　
1. "第 26 届 CGPM 决议" (PDF). BIPM. 检索于 2020 年 8 月 1 日。
2. Raymond A Serway & Jewett JW (2006). Serway 的物理学原理：基于微积分的文本 (第四版). 贝尔蒙特，加利福尼亚：汤普森 Brooks/Cole. 第 746 页. ISBN 0-534-49143-X。
3. Paul M. S. Monk (2004). 物理化学：理解我们的化学世界. 纽约：奇切斯特：Wiley. 第 16 页. ISBN 0-471-49181-0。
4. 此表达式的被积函数出现在关于定义安培的官方文档中。BIPM SI Units brochure, 8th Edition, 第 105 页。
5. Tai L. Chow (2006). 现代视角下的电磁理论导论. 波士顿：Jones and Bartlett. 第 153 页. ISBN 0-7637-3827-1。
6. 安培力定律。参见 “积分方程” 部分获取公式。
7. Christodoulides, C. (1988). “安培和毕奥-萨伐尔静磁力定律在线电流元形式中的比较”. 美国物理学杂志. 56 (4): 357–362. Bibcode:1988AmJPh..56..357C. doi:10.1119/1.15613。
8. O'Rahilly, Alfred (1965). 电磁理论. Dover. 第 104 页. (参见 Duhem, P. (1886). "关于安培定律". 理论物理学杂志. 5 (1): 26–29. doi:10.1051/jphystap:018860050020601. 检索于 2015 年 1 月 7 日，该文出现在 Duhem, Pierre Maurice Marie (1891). *电与磁的教程. 第 3 卷. 巴黎: Gauthier-Villars.)
9. Petsche, Hans-Joachim (2009). 赫尔曼·格拉斯曼传记. 巴塞尔波士顿：Birkhäuser. 第 39 页. ISBN 9783764388591。
10. Maxwell, James Clerk (1904). 电磁学教程. 牛津. 第 173 页。

7. 外部链接

                     

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