群论笔记
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
贡献者: addis
参考文献:Mathematical Methods for Physicists (Arfken et. al.)
1. 17.1 Introduction to Group Theory
- 群的定义:定义了乘法的集合,(1) 闭合,(2) 结合律,(3) 单位元,(4) 逆元
- 阶数:离散群的阶数等于元素数,连续群的阶数等于参数的个数
- 满足交换律的群就叫阿贝尔(abelian)群
- 循环(cyclic)群:群内的所有元素都可以用某个元素表示为 $I, a, a^2, \dots$
- 循环群是阿贝尔群
- 两个群中的元素如果一一对应(包括乘法运算),则他们是 isomorphic 的,如果是多对一,就是 homomorphic 的
- 如果一个群的子集也是一个群,就称为子群(subgroup)
2. 17.2 Representation of Groups
3. 17.3 Symmetry and Physics
4. 17.4 Distrete Groups
5. 17.5 Distrete Products
- 直积:两个群 $G$ 和 $H$ 通过直积运算得到一个新群 $G \otimes H$,元素为 $(g, h)$,其中 $g\in G$,$h\in H$。$G \otimes H$ 中的乘法运算为对应元素分别运算 $(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)$,注意两个元素的乘法可能不一样。
6. 17.6 Symmetric Group
- 对称群(symmetric group) $S_n$ 是 $n$ 个不同对象的 permutation 操作组成的群,所以共有 $n!$ 个元素
7. 17.7 Continuous Groups
- $SO(n)$(special orthogonal)表示 $n$ 维空间旋转群($n(n-1)/2$ 阶),如果加上 reflection,就是 $O(n)$。
- $SU(n)$(special unitary),阶数是 $n^2 - 1$
- 李群(Lie group):
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