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若在 $M$ 维矢量空间中任意给出 $N \leqslant M$ 个线性无关的矢量，如何得到一组正交归一化的基底呢？我们可以用施密特正交归一化（Schmidt orthonormalization）。先看一个二维的例子
例 1 二维空间中的几何矢量
已知两个几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 坐标分别为 $(2, 1)$，$(1, 2)$。这两个矢量不共线，说明它们线性无关。但容易看出它们既不归一也不正交，下面来进行施密特正交归一化。
先把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 归一化，并记为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \right\rvert } = \frac{1}{\sqrt{5}} (2, 1)~.
\end{equation}
然后，用内积来计算 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的投影长度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = \frac{4}{\sqrt{5}}~,
\end{equation}
所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的分量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _2^{||} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _1) \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = \frac{4}{5} (2, 1)~.
\end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 减去和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 平行的分量，就是和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 垂直的分量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _2^\bot = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^{||} = \left(-\frac35, \frac65 \right) ~,
\end{equation}
归一化并记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} _2 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^\bot}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^\bot \right\rvert } = \frac{1}{3\sqrt{5}} (-3, 6)~.
\end{equation}
现在可以验证，基底 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$ 是正交归一的，即 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 \right\rvert = 1$，且 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 = 0$。
若给出 $M$ 维矢量空间中的 $N$ 个（$N \leqslant M$）线性无关矢量
- 将第 1 个矢量归一化得到第 1 个基底
- 将第 2 个矢量分解为与第 1 个矢量平行和垂直的两个分量，并将垂直分量归一化得到第 2 个基底
- 将第 3 个矢量分解为三个部分，即分别平行于前两个基底的分量和一个垂直分量，并将垂直分量归一化得到第 3 个基底
- 对第 $n = 4, \dots , N$ 个基底重复该步骤，得到第 $n$ 个基底
用公式来表示这个过程，就是：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _1^\bot = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} _i = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot \right\rvert } \qquad (i = 1, \dots ,N)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i^{||} = \sum _{j=1}^{i-1} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _j) \boldsymbol{\mathbf{u}} _j \qquad (i = 2, \dots N)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i - \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^{||} \qquad (i = 2, \dots N)~.
\end{equation}
习题 1
对三维空间中的矢量 $(2, 1, 1)$，$(1, 2, 1)$ 和 $(1, 1, 2)$ 进行施密特正交归一化。
1. 推导
这里来解释式 8 和式 9 。我们假设已经知道 $i-1$ 个正交归一的矢量，由于 $N$ 维空间中必然存在 $N$ 个正交归一基底，我们可以设剩下 $u_i$ 的也已经知道（或者可以任意取）。于是 $v_i$ 可以用基底展开为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \sum _{j=1}^N c_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j~.
\end{equation}
得到前 $i-i$ 项之和
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i^{||} = \sum _{j=1}^{i-1} c_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j~,
\end{equation}
所以
式 9 就是第 $i$ 项到第 $N$ 项之和
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot = \sum _{j=i}^{N} c_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j~.
\end{equation}
所以对 $j = 1, \dots , i-1$，都有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _j = 0$。也就是说和已有的 $i-1$ 个基底都正交。
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