矩阵对易与共同本征矢

             

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   由于矩阵乘法满足结合律(式 18 ),算符对易意味着,对于任意一个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $(看成单列矩阵),先将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 对其作用再将 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 对其作用,等于以相反的顺序作用.即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \end{equation}

   为什么要讨论两个矩阵是否对易?因为对易与矩阵的本征问题紧密关联

证明

   首先用条件 2 证明条件 1.记这组共同本征矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \ \ (i = 1, \dots , N)$,且令本征值为 $a_i, b_i$,即

\begin{equation} \begin{cases} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\\ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = b_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{cases} \end{equation}
那么对所有 $i = 1, \dots, N$ 都有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \boldsymbol{\mathbf{B}} (a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = a_i \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = a_i b_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \boldsymbol{\mathbf{A}} (b_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = b_i \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = a_i b_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
可见式 1 对每个基底都成立,所以对空间中的任意矢量也成立(因为任意矢量可以表示成基底的线性组合,而算符都是线性的),所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} $.

   再来用条件 1 证明条件 2.这要更复杂一些.我们解 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征方程

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是厄米矩阵,我们必定可以得到一组($N$ 个)两两正交的本征矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 和本征值 $a_i$.由于两个算符对易,有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \boldsymbol{\mathbf{B}} (a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = a_i ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) \end{equation}
观察等式两端,这说明 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 矢量同样也是本征值 $a_i$ 对应的本征矢.

   现在分两种情况讨论.第一种 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征矢不存在简并(注意我们并不在乎 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 是否有简并).这样每个 $a_i$ 对应一个一维子空间,空间中的所有矢量都共线,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 共线,即后者乘以常数等于前者.令该常数为 $b_i$,得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = b_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
这就证明了 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 同样是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的本征矢.

   更复杂的是如果 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的某个本征值 $a_i$ 存在简并,那它的所有本征矢可以组成 $n_i > 1$ 维的子空间.如果 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 属于这个子空间,那么式 5 式 6 未必说明 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 共线,而是只能说明 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 也在这个子空间中.或者说 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在该子空间中具有封闭性.可以证明在该子空间中,矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 必定有 $n_i$ 个正交归一的本征矢,它们既是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征矢(因为该子空间中的任何矢量都是),也是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的本征矢.

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