环
环的定义
群是代数学中研究的最简单的结构，只由一个集合配上一个运算构成，这个运算只有 $4$ 条公理进行限制．
通常，在群之后会介绍的一个更复杂一些的概念，是环．一个环就是由一个集合配上两个运算构成的集合，通常把这两个运算叫做加法和乘法；环上的加法和乘法分别构成群，不过乘法群不包括加法的单位元，而加法群是阿贝尔群．
为了简洁地定义环，先定义两个群论中并没有涉及到的概念．
Definition 1 半群和幺半群
给定集合 $G$ 及其上的一个运算，运算符号忽略．如果运算满足：
那么称 $G$ 配合该运算构成一个半群（semi-group）．
如果半群中含单位元，则构成一个幺半群（monoid）．这里的 “幺” 是 “一” 的意思．
由此可见，群就是每个元素都有对应可逆元的幺半群．有了幺半群的概念，就可以很方便地定义环了．
Definition 2 环
一个环（ring）是一个集合 $R$ 与两种运算 “加” 和 “乘”，分别记为 $+$ 和 $\cdot$．其中加法配合 $R$ 中所有元素构成一个阿贝尔群，加法群的单位元通常称为零元，记为 $0$；乘法配合 $R^*$ 中所有元素构成一个半群，其中 $R^*=R-\{0\}$．除了加法和乘法分别构成两个群之外，还要求加法和乘法满足分配律
- $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
- $(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$
如果乘法还含有单位元，则称其为幺元，记为 $1$．
通常，为了方便表示，我们也会省略环中乘法的符号，将 $a\cdot b$ 写为 $ab$．
由定义，环的加法必须是可交换的，但乘法却不一定．如果 $R$ 的乘法也交换的话，我们就称 $R$ 为一个交换环（commutative ring）．
Example 1 整数环
整数集合配上通常的加法和减法，构成一个交换环，记为 $\mathbb{Z}$．
Example 2 数域
有理数集合配上通常的加法和减法，构成一个交换环，记为 $\mathbb{Q}$．类似地，实数构成交换环 $\mathbb{R}$，复数构成交换环 $\mathbb{C}$．这三个环都是数域的例子，数域是指包含整数的域，而域是之后基于环而讨论的概念．
Example 3 多项式环
设有交换环 $R$，$x$ 是一个自变量，那么集合 $\{\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i|n\in\mathbb{Z}^+, a_i\in R\}$ 可以看成是 $x$ 的多项式构成的集合，其系数取遍 $R$．这些多项式之间的加法和乘法由 $R$ 的加法和乘法诱导（定义），并且构成了一个交换环，称为 $R$ 的多项式环．
记 $R$ 上的多项式环为 $R[x]$．
环的定义在一个细节上有争议，那就是乘法需不需要有幺元．有些书中的定义不要求有幺元，也就是说乘法只构成半群即可，这就使得对于任意正整数 $n$，$n$ 的全体倍数构成的集合 $n\mathbb{Z}$ 也是一个环；在这种定义里，会把含幺元的环称作含幺环或者幺环．由于不含幺元的结构一般不研究，所以主流数学界干脆将环定义为有幺元的．本书为了方便表述，认为环都不一定由幺元，将幺环和环区分开，请读者注意．
子环
Definition 3 子环
给定一个环 $R$，如果 $S$ 是 $R$ 的子集，并且在继承 $R$ 的两个运算后也构成环，那么称 $S$ 是 $R$ 的子环（subring）．