光子气体
Prerequisite 等间隔能级系统（正则系宗）
我们仍用正则系宗下推导光子气体的总能能量和压强．已知单模式（单频率）的光子气体配分函数为 $Q(\omega) = 1/[1- \exp\left(-\omega\hbar\beta\right) ]$，系统的配分函数为
\begin{equation}
Q = \prod_i Q(\omega_i) = \prod_i \frac{1}{1- \exp\left(-\omega_i\hbar\beta\right) }
\end{equation}
系统总能量为
\begin{equation}
U = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln Q = \sum_i \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}\right) = \sum_i \frac{\omega_i \hbar \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}}{1- \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}} = \sum_i \frac{\omega_i \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega_i\hbar\beta} - 1}
\end{equation}
用积分来求和，模式密度为 $\rho(\omega) = V\omega^2/(\pi^2 c^3)$
\begin{equation}
U = \frac{V}{\pi^2 c^3} \int_0^\infty \frac{\omega^3 \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega\hbar\beta} - 1} \,\mathrm{d}{\omega}
\end{equation}
用换元积分法，令 $x = \omega\hbar\beta$
\begin{equation}
U = \frac{V}{\pi^2c^3 \beta^4 \hbar^3} \int_0^\infty \frac{x}{ \mathrm{e} ^x - 1} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\pi^2 V}{15c^3 \hbar^3} (kT)^4
\end{equation}
最后的积分可由 Mathematica 完成．
压强
由正则系宗法的步骤，先求出亥姆霍兹自由能
\begin{equation}
F = -kT \ln Q = kT \sum_i \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}\right)
\end{equation}