牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展
作为牛顿—莱布尼兹公式的一个高维拓展，有
\begin{equation}
\int \boldsymbol\nabla f \,\mathrm{d}{V} = \oint f \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}
该公式类似于散度定理
，但被积函数变为标量而不是矢量．对于一维情况，该式就是牛顿—莱布尼兹公式．
事实上梯度定理（eq. 17 ）也可以看作是另一种拓展高维拓展．
证明
我们可以对每个分量依次证明．两边乘以第 $i$ 个分量的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 得
\begin{equation}
\int \frac{\partial}{\partial{x_i}} f \,\mathrm{d}{V} = \oint (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}
由散度定理得
\begin{equation}
\oint (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \,\mathrm{d}{V} = \int \frac{\partial}{\partial{x_i}} f \,\mathrm{d}{V}
\end{equation}
证毕．