子代数与理想
和抽象代数中的子群、子环等类比，李代数也可以有次级结构，即子代数．
设 $\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$ 是李代数 $\mathfrak{g}$ 的非空子集，定义子集间的运算为 $\mathfrak{m}+\mathfrak{n}=\{M+N|M\in\mathfrak{m}, N\in\mathfrak{n}\}$，以及 $[\mathfrak{m}, \mathfrak{n}]=\{[M, N]|M\in\mathfrak{m}, N\in\mathfrak{n}\}$．那么如果 $\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$ 和 $\mathfrak{p}$ 都是 $\mathfrak{g}$ 作为线性空间的子空间，我们容易证明以下性质：
- $[\mathfrak{m}+\mathfrak{n}, \mathfrak{p}]\subseteq[\mathfrak{m}, \mathfrak{p}]+[\mathfrak{n}, \mathfrak{p}]$；
- $[\mathfrak{m},\mathfrak{n}]=[\mathfrak{n}, \mathfrak{m}]$；
- $[\mathfrak{m}, [\mathfrak{n}, \mathfrak{p}]]\subseteq[\mathfrak{n}, [\mathfrak{m}, \mathfrak{p}]]+[\mathfrak{p}, [\mathfrak{n}, \mathfrak{m}]]$．
Definition 1 李代数的子代数
若 $\mathfrak{g}$ 是李代数，$\mathfrak{h}$ 是它作为线性空间的子空间，且有 $[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}]\subseteq\mathfrak{h}$，那么称 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的子代数（sub (Lie) algebra）．
尽管李代数并不成环，但是我们也可以仿照环的理想的定义，用吸收律来定义李代数的理想：
Definition 2 李代数的理想
若 $\mathfrak{g}$ 是李代数，$\mathfrak{h}$ 是它作为线性空间的子空间，且有 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}]=\mathfrak{h}$，那么称 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想（ideal）．
显然，$\mathfrak{g}$ 和 $\{0\}$ 都是 $\mathfrak{g}$ 的理想，称为平凡理想（trivial ideal）．
我们通常把定义中 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}]=\mathfrak{h}$ 这一条，称为 “吸收性” 或者说 “吸收律”，方便记忆．从定义可以看到，李代数的理想必为其子代数．进一步，理想和子代数还满足以下性质：
- 如果 $\mathfrak{h}_i$ 是子代数，那么 $\mathfrak{h}_1\cap\mathfrak{h}_2$ 也是子代数．
- 如果 $\mathfrak{h}_1$ 是子代数而 $\mathfrak{h}_2$ 是理想，那么 $\mathfrak{h}_1+\mathfrak{h}_2$ 是子代数．
- 如果 $\mathfrak{h}_i$ 是理想，那么 $\mathfrak{h}_1+\mathfrak{h}_2$、$\mathfrak{h}_1\cap\mathfrak{h}_2$ 和 $[\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2]$ 都是理想，并且有如下包含关系：
\begin{equation}
[\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2]\subseteq\mathfrak{h}_1\cap\mathfrak{h}_2\subseteq\mathfrak{h}_i\subseteq\mathfrak{h}_1+\mathfrak{h}_2
\end{equation}
证明是很简单的，留作练习．注意最后的包含关系里的符号区别，其中一共三个子集符号．
Example 1 理想的例子
域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵的集合 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，构成一个李代数．考虑到对于任意矩阵 $A, B\in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，我们有 $ \operatorname {trace}(AB)= \operatorname {trace}(A) \operatorname {trace}(B)= \operatorname {trace}(B) \operatorname {trace}(A)= \operatorname {trace}(BA)$，因此必有 $ \operatorname {trace}([A, B])=0$．这就提示我们去考虑迹为 $0$ 的全体 $n$ 阶方阵的集合，记为 $\mathfrak{t}$，容易验证它就是 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$ 的一个理想．
半单李代数
和单群类似，我们可以定义单李代数：
Definition 3 单李代数
给定李代数 $\mathfrak{g}$，如果它没有非平凡理想，即除了 $\{0\}$ 和 $\mathfrak{g}$ 自身外没有别的理想，那么我们称它为一个单李代数（simple Lie algebra）．
类似地，如果加一个限制，还有半单李代数的概念：
Definition 4 半单李代数
给定李代数 $\mathfrak{g}$，如果它没有非平凡交换理想，那么我们称它为一个半单李代数（semi-simple Lie algebra）．