类氢原子的约化质量
Prerequisite 玻尔原子模型
玻尔氢原子模型假设原子核的质量远大于电子质量．得出的结论是
\begin{equation}
E_n = -\frac{mZ^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\frac{1}{n^2} \approx - 13.6 \,\mathrm{eV} \frac{Z^2}{n^2}
\end{equation}
当考虑原子核运动的时候（但仍然忽略万有引力），上式变为
\begin{equation}
E_n = -\frac{\mu Z^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2}
\end{equation}
其中 $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ 叫做
约化质量．$m_1$ 和 $m_2$ 分别是原子核质量和核外电子质量． 要注意这时的 $E_n$ 包括了原子核的动能．
推导
- 经典力学的条件
\begin{equation}
m_1 \frac{v_1^2}{r_1} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{(r_1 + r_2)^2}
\end{equation}
- 角动量量子化条件（注意角动量是总角动量！）
\begin{equation}
m_1 v_1 r_1 + m_2 v_2 r_2 = n\hbar
\end{equation}
- 质心系条件
\begin{equation}
m_1 r_1 = m_2 r_2 \qquad m_1 v_1 = m_2 v_2
\end{equation}
\begin{equation}
E_n = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{r_1 + r_2}
\end{equation}
联立这几条式子，就可以解出考虑原子核运动的能级公式．推荐的步骤是，把所有的 $r_2$ 和 $v_2$ 写成 $m_1 r_1/m_2$ 和 $m_1 v_1/m_2$．然后用和玻尔原子模型中一样的方法解出来即可．