正交函数系
函数值为实数
定义
给出一组函数（有限或无限多个），$f_i(x)\; (i = 1,2\dots)$，如果满足
\begin{equation}
\int_a^b f_i(x) f_i(x) \,\mathrm{d}{x} \ne 0
\end{equation}
当整数 $m \ne n$ 时
\begin{equation}
\int_a^b f_m(x) f_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0
\end{equation}
那么这一组函数就是区间 $[a,b]$ 内的一个正交函数系．
这一组函数的性质可以类比矢量的正交，“两个函数相乘再积分” 这个步骤可以类比矢量的内积．如果两个不同的矢量正交（垂直），则它们的内积为零．如果它们的模长不为零，则一个矢量与自身内积不为零．
特殊地，若给正交函数系中的每个函数的平方进行归一化，使得
\begin{equation}
\int_a^b f_i(x) f_i(x) \,\mathrm{d}{x} = 1
\end{equation}
那么该正交函数系就是
归一的．其性质可以表示为
\begin{equation}
\int_a^b f_m(x) f_n(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{mn}
\end{equation}
其中 $\delta_{mn}$ 是克罗内克 $\delta$ 函数（Kronecker Delta Function）．
函数值为复数
若函数系中 $f_i(x)$ 的自变量为实数，函数值为复数，则正交的定义变为
\begin{equation}
\int_a^b f_i^*(x) f_j(x) \,\mathrm{d}{x} \ne 0 \qquad ( i \ne j )
\end{equation}
其中星号表示复共轭．归一化的定义变为
\begin{equation}
\int_a^b f_i^*(x) f_i(x) \,\mathrm{d}{x} = 1
\end{equation}
正交归一条件可以统一写成
\begin{equation}
\int_a^b f_i^*(x) f_j(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{ij}
\end{equation}