Prerequisite 安培力
，斯托克斯定理，静磁场的高斯定律，
假设空间中有任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，闭合电流回路 $L$ 中有电流 $I$．则其受到的安培力可以表示为线积分 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \oint I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $．积分方向为电流方向．若磁场是匀强磁场，则立即得到 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = I(\oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $
若磁场是任意的，那么
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{F}} &= \oint_L I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}}
= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
&= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} I\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} I\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \\
&= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int_\Sigma \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} I\int_\Sigma \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} I\int_\Sigma \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{aligned} \end{equation}
其中用到了斯托克斯定理，$\Sigma $ 是以闭合曲线 $L$ 为边界的曲面．上式中
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x}
\end{equation}
这里用到了 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的任意微分为 0 以及 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0$ 的性质．对称地，将上式中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 替换成 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，等式也成立．所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial y} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial z} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}
写成分量的形式，就是
\begin{equation}
F_x = I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \qquad
F_y = I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial y} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \qquad
F_z = I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial z} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}