曲线的长度
直角坐标系中，曲线通常用函数 $y(x)$ 描述．我们在曲线上某点 $(x, y)$ 附近取一小段，根据勾股定理，它的长度为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{l} = \sqrt{ \,\mathrm{d}{x} ^2 + \,\mathrm{d}{y} ^2} = \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
两边积分得
\begin{equation}
l = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
这就是曲线在区间 $[x_1, x_2]$ 的长度．
（例题未完成）
Example 1 抛物线
对抛物线 $y=\frac{x^2}{2p}$,在区间 $[0,x]$ 对应的弧长为
\begin{equation}
\begin{aligned}
l&=\overset{\frown}{OM}=\frac{1}{p}\int_{0}^{x}\sqrt{x^2+p^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{1}{p}\bigg[\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+p^2}+\frac{p^2}{2} \ln\left(x+\sqrt{x^2+p^2}\right) \bigg]\Bigg\lvert_{0}^{x}\\
&=\frac{x}{2p}\sqrt{x^2+p^2}+\frac{p}{2}\ln\frac{x+\sqrt{x^2+p^2}}{p}
\end{aligned}
\end{equation}