证明闭合曲面的法向量面积分为零
Fig. 1：闭合曲面上的一个面元
对于闭合曲面 $\Omega$， 证明 $\oint_\Omega \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $ 是曲面上的面元矢量，其模长 $ \,\mathrm{d}{s} $ 为面元的面积， 方向为沿着该面元的法线向外． 把矢量积分分解成三个分量，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\oint_\Omega \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } & = \oint_\Omega [( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ] \\
&= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \oint\limits_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int_V ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) \,\mathrm{d}{V} = \int_V 0 \,\mathrm{d}{V} = 0
\end{equation}