芝诺时间

贡献者： Sherlock

1. 芝诺时与普通时

佯谬

　　在一些定性的结论和定理未曾创立前，人们没有办法去理解和解决实际上的一些问题，在一些人的助推波澜下，人们的思想越来越混乱。在微积分发明之前，古代哲学家芝诺曾经提出过一系列的佯谬其中最为著名的就是他关于时间的悖论。

芝诺的论点和论据

　　论点：阿克琉斯（希腊神话中的英雄）的速度是乌龟的十倍，乌龟在他之前 100 米，但是他永远追不上乌龟。论据：因为在他们开始赛跑时，乌龟在阿克琉斯前面 100 米，那么当阿克琉斯跑了 100 米时到乌龟原来的位置时，乌龟已经前进了 10 米；当阿克琉斯再前进 10 米时，乌龟又在他前面 1 米；而当他再跑 1 米时；乌龟又向前运动了 0.1 米……如此下去，直至无穷。因此，阿克琉斯永远追不上乌龟。

实际上的解释

　　在我们现在看来，这个结论是错误的。因此，错误一定处在论证过程上。而错在哪里呢？仔细思考后，不难发现，芝诺实际上采取了与我们平时所用的时间量度不同的另一种量度。在芝诺时间里，本来有限的时间被分成了无限多份。但是这并不意味着时间有无限的数量。也就是说，在芝诺的时间取到无穷后，还是有时间存在的。换句话说，一种到达无限的时间量度，在其他量度上，有可能是有限的。

推导和证明

　　在思考到芝诺时间实际上是另一种时间量度后，物理学家们思考的是时间量度之间的转换：我们平时使用的时间量度与芝诺时间之间。有什么样的转换关系呢？

　　我们在这里，设我们日常使用的普通时间为 $t$,芝诺时间为为 $t'$，阿克琉斯与乌龟相距 $L$,阿克琉斯的速度为 $v_1$，乌龟的速度为 $v_2$，且 $v_1>v_1$ 根据普通时间的运动学公式，不难得出：在普通的时间量度中，阿克琉斯将会在

\begin{equation} t = \dfrac{L}{v_1 - v_2}~. \end{equation}

时，赶上乌龟。在上面的故事中，我们可以了解到：当 $t'=1$ 时，阿克琉斯到达乌龟在 $t'=0$ 时的出发点，当 $t'=2$ 时，他到达乌龟在 $t'=1$ 时的出发点……由此可得当他运动 $t'=n$ 时，他到达乌龟在 $t'=n-1$ 时的出发点。因此，只有当 $t'\to\infty$ 时，阿克琉斯才能无限接近乌龟。

表1：芝诺时 $t'$ 与普通时 $t$ 之间的关系

芝诺时（$t'$）	普通时（$t$）
0	0
1	$\dfrac{L}{v_1}$
2	$\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}$
3	$\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot(\dfrac{v_2}{v_1})^2$
$\vdots$	$\vdots$
n	$\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot(\dfrac{v_2}{v_1})^2+\cdots+\dfrac{L}{v_1}\cdot(\dfrac{v_2}{v_1})^{n-1}$

　　从表中得到 $t'=n$ 时，对应的

\begin{equation} t=\dfrac{L}{v_1}[1+\dfrac{v_2}{v_1}+\cdots+(\dfrac{v_2}{v_1})^{n-1}]=\dfrac{L}{v_1}\dfrac{1-(\dfrac{v_2}{v_1})^n}{1-\dfrac{v_2}{v_1}}=\dfrac{L}{v_1-v_2}[1-(\dfrac{v_2}{v_1}^n)]~. \end{equation}

所以 $t$ 和 $t'$ 的变换关系式为

\begin{equation} t=\dfrac{L}{v_1-v_2}[1-(\dfrac{v_2}{v_1})^{t'}]~, \end{equation}

此式即为芝诺变换。且当 $t'\to\infty$ 时，有

\begin{equation} t=\dfrac{L}{v_1-v_2}~. \end{equation}