量子信道

贡献者： ASAHI

本文处于草稿阶段。

预备知识　量子系综，量子测量，量子力学基本原理

　　在量子系综和量子测量的章节，我们反复强调了推广标准量子力学中纯态和投影测量的必要性。这种必要性可以粗略分为三个方面：

当系统和更大的环境发生了相互作用并且耦合在了一起，这时即使总系统的态是纯态，上面的测量是投影测量，对应到子系统上并非一定如此，往往会变成密度矩阵和 POVM 测量。
当我们并未掌握一个物理系统的全部信息的话，就必须使用系综的语言来描述这个系统。如果这个系统是量子系统的话，那么对应的合适的描述就应当是密度矩阵和 POVM 测量。
我们可以定义一些概率性的态制备和测量协议，在这些情况之下，由于经典概率的参与，我们需要把纯态和投影测量推广到密度矩阵和 POVM 测量。

　　这里我们仍然继续这样的思路，不过这次我们想要推广的是量子力学中的演化。我们将会看到，在量子信息的语言下，演化可以被推广成为量子信道，它描述了我们能够对一个量子态进行的所有 “合法” 的变换，包括演化，擦除信息，甚至之前提到的 POVM 测量。因为这样的特性，量子信道成为了量子信息科学中的标准工具和语言。

1. 量子态的合法变换

　　首先不妨回顾一下标准量子力学中是如何描述量子态演化的。假设在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上有一个初态 $ \left\lvert \psi \right\rangle $，现在通过某种演化算符 $O:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$ 将其变换到末态 $ \left\lvert \phi \right\rangle $。由于归一化条件的限制：

\begin{equation} \left\langle \psi \middle| \psi \right\rangle = \left\langle \phi \middle| \phi \right\rangle =1= \left\langle \psi \right\rvert O^\dagger O \left\lvert \psi \right\rangle ~. \end{equation}

我们便知道了此时的演化算符 $O$ 会是一个 $\mathcal{H}$ 上的幺正算符。

　　我们可以对混态问同样的问题：假设在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上有一个初态 $\rho$，现在通过某种操作将其变成末态 $\rho'$（注意 $\rho'$ 甚至可以是另一个 Hilbert 空间 $\mathcal{H}'$ 中的量子态）