浙江大学 1999 年 考研 量子力学

                     

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1. 第一题:(10 分)

1. 试求出 100 ev 的自由电子及能量为 0.1 ev，质量为 1 克的质点的德布罗意波长 $$\begin{gathered} \text{lev}=1.6\times {10}^{-19} \\ \text{J},h=6.6\times {10}^{-34} \\ \text{J.s} \end{gathered}$$
2. 证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度 $v_g$，即为其运动速度 $v$。

2. 第二题:(10 分)

　　 (1)证明定态中几率流密度与 时间无关。

　　 (2)求一维无限深势阱中运动的粒子在第 $n$ 个能级时的几率流密度。

3. 第三题:(15 分)

　　 (粒子处于一维势阱 $V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0\\ \\ -U_0,& 0\le x\le a\\ \\ 0,& x>a\end{array}$(取的恒定常量)中运动,)

1. 面出势能 $V(x)$ 的示意图，设粒子质量为 $\mu$。
2. 求解粒子的能级 $E$。($-U_0<E<0$) (写出 $E$ 所满足的方程。)

4. 第四题:(10 分)

　　 一维谐振子，其势能为：$V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$ （$k$ 为常量）。若该谐振子又受一恒力 $F$ 作用，试求其本征能量及能量本征函数。该振子的质量为 $\mu$。

5. 第五题:(20 分)

1. 写出线性厄米算符的定义。
2. 判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？ $$a.{\hat{F}}_1=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x},b.{\hat{F}}_2=a{\hat{p}}_x+b\hat{x},(a,b\text{为恒定实常数})$$ $$c.{\hat{F}}_3=e^{i\hat{A}},\hat{A}\text{线性厄米算符},i\text{为虚宗量}$$
3. 证明厄米算符对应的本征值得实值。
4. 若算符 $\hat{B}$、$\hat{C}$ 为厄米算符，$[\hat{B},\hat{C}{]}_1=\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{B}=0$。若在 $b,c$ 分别为 $\hat{B},\hat{C}$ 的本征值， 证明：①$bc=0$②若 ${\hat{C}}^2=1$，则 $c$ 必取 $c=\pm 1$。

6. 第六题:(20 分)

　　 设哈密顿算符在能量表象中形如： $$\hat{H}=\left(\begin{array}{ccc}{E}_1^{(0)}& 0& a\\ \\ 0& E_2^{(0)}& b\\ \\ a& b& E_3^{(0)}\end{array}\right)$$ 其中 $E_1^{(0)},E_2^{(0)},E_3^{(0)}$ 远大于 $a$ 或 $b$ 为实数，试：

1. 写出未微挠哈密顿量 ${\hat{H}}_0$ 与微挠哈密顿量 ${\hat{H}}^{\prime }$ 的合理形式。
2. 证明 ${\hat{H}}^{\prime }$ 为厄米算符（$E_1^{(0)},E_2^{(0)},E_3^{(0)}$ 全为厄米算符本征值）。
3. 若 $E_1^{(0)}<E_2^{(0)}<E_3^{(0)}$，用微扰论起初阶本征能量（至二级）。
4. 若 $E_1^{(0)}<E_2^{(0)}=E_3^{(0)}$，试求其本征能量（至一级）。

7. 第七题:(15 分)

　　 用玻恩近似计算粒子（质量为 $\mu$）被形如 $V(r)=B\delta (r)$ 的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点（$B$ 为常数）