浙江大学 1999 年 考研 量子力学
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1. 第一题:(10 分)
- 试求出 100 ev 的自由电子及能量为 0.1 ev，质量为 1 克的质点的德布罗意波长
\[ \text{lev} = 1.6 \times 10^{-19} \\ \text{J}, \ h = 6.6 \times 10^{-34} \\ \text{J.s}~\]
- 证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度 $v_g$，即为其运动速度 $v$。
2. 第二题:(10 分)
(1)证明定态中几率流密度与 时间无关。
(2)求一维无限深势阱中运动的粒子在第 $n$ 个能级时的几率流密度。
3. 第三题:(15 分)
(粒子处于一维势阱 $V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\\\ -U_0, & 0 \leq x \leq a \\\\ 0, & x > a \end{cases}$(取的恒定常量)中运动,)
- 面出势能 $V(x)$ 的示意图，设粒子质量为 $\mu$。
- 求解粒子的能级 $E$。($-U_0 < E < 0$) (写出 $E$ 所满足的方程。)
4. 第四题:(10 分)
一维谐振子，其势能为：$V(x) = \frac{1}{2} k x^2$
（$k$ 为常量）。若该谐振子又受一恒力 $F$ 作用，试求其本征能量及能量本征函数。该振子的质量为 $\mu$。
5. 第五题:(20 分)
- 写出线性厄米算符的定义。
- 判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？
$$ a. \hat{F}_1 = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}, \quad b. \hat{F}_2 = a \hat{p}_x + b \hat{x}, (a, b \text{为恒定实常数}) ~$$
$$c. \hat{F}_3 = e^{i\hat A},\hat A \text{线性厄米算符}, i \text{为虚宗量}~$$
- 证明厄米算符对应的本征值得实值。
- 若算符 $\hat{B}$、$\hat{C}$ 为厄米算符，$[\hat{B}, \hat{C}]_1 = \hat{B} \hat{C} - \hat{C} \hat{B} = 0$。若在 $b, c$ 分别为 $\hat{B}, \hat{C}$ 的本征值，
证明：①$ b c = 0$②若 $\hat{C}^2 = 1$，则 $c$ 必取 $c = \pm 1$。
6. 第六题:(20 分)
设哈密顿算符在能量表象中形如：
\[\hat{H} = \begin{pmatrix}E_1^{(0)} & 0 & a \\\\0 & E_2^{(0)} & b \\\\a & b & E_3^{(0)}\end{pmatrix}~\]
其中 $E_1^{(0)}, E_2^{(0)}, E_3^{(0)}$ 远大于 $a$ 或 $b$ 为实数，试：
- 写出未微挠哈密顿量 $\hat{H}_0$ 与微挠哈密顿量 $\hat{H}'$ 的合理形式。
- 证明 $\hat{H}'$ 为厄米算符（$E_1^{(0)}, E_2^{(0)}, E_3^{(0)}$ 全为厄米算符本征值）。
- 若 $E_1^{(0)} < E_2^{(0)} < E_3^{(0)}$，用微扰论起初阶本征能量（至二级）。
- 若 $E_1^{(0)} < E_2^{(0)} = E_3^{(0)}$，试求其本征能量（至一级）。
7. 第七题:(15 分)
用玻恩近似计算粒子（质量为 $\mu$）被形如 $V(r) = B \delta (r)$ 的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点（$B$ 为常数）