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(1) 从坐标与动量算符的对易关系（$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。
(2) 请用泡利矩阵 $\sigma^x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，$\sigma^y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\\\ i & 0 \end{pmatrix}$，$\sigma^z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。
(3) 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
(4) 你知道量子力学中的哪些数定律在经典物理中没有对应？
(5) 设 $\Psi_0$ 为 $\hat{H}_0$ 的简并本征函数，相应的能量本征值为 $E_n$，如果 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'$，其中 $\hat{H}'$ 可看作微扰。试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。
(6) 什么叫受激辐射？什么叫自发辐射？
(7) 写出由 $\frac{1}{2}$ 自旋态构成的总自旋为 0 的态矢和自旋为 1 的态矢。
已知氢原子的基态波函数为： \[\psi(r, \theta, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r / a_0},~\]
有一个质量为 $M$ 的粒子在宽度为 $a$ 的无限深势阱中运动。
试求 \[\hat{H} = \frac{1}{2M} \left( \hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 \right) + \frac{M}{2} \omega_c^2 \left( x^2 + y^2 \right) + \omega_c \hat{L}_z~\] 的能级。你觉得能级简并度有什么特点？
[提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为 \[E = \left( 2n_\rho + |m| + 1 \right) \hbar \omega_c~\] $n_\rho$ 为径向量子数，$m$ 为磁量子数。]
一个体系的哈密顿量为 \[H = \sigma_1^x \sigma_2^x + \sigma_1^x \sigma_2^y + \sigma_1^z \sigma_2^z ~\] 其中 $\lambda$ 为实数，泡利矩阵的下标 $1, 2$ 表示第一个粒子和第二个粒子，用矩阵的直乘理解即为 $\sigma_1^x \sigma_2^x = \sigma_1^x \otimes \sigma_2^x$ 等等。
（1）求出其本征值。
（2）对于不同的 $\lambda$ 取值范围，写出相应的基态矢量。