浙江大学 2002 年考研量子力学

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1. 第一题:从下面四题中任选三题(15 分)

　　 (1)试说明光电效应实验中的 “红限” 现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念?

　　 (2)如何从黑体辐射实验的 Planck 公式中推出 Stefan 公式?(只要求给出思路)。根据该公式，能否做出什么测温仪器?

　　 (3)你认为 Bohr 的量子理论有哪些成功之处?有哪些不成功的地方?试举一例说明

　　 (4)你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念?

2. 第二题(20 分):

　　设氢原子处于状态: $Ψ (r, 0, φ) = \frac{1}{4} R_{21} (r) Y_{11} (0, φ) - \frac{\sqrt{7}}{4} R_{21} (r) Y_{10} (0, φ) + \frac{1}{\sqrt{2}} R_{31} (r) Y_{1 - 1} (0, φ)$

　　 (1) 测量该原子的能量，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？

　　 (2) 测量该原子的角动量平方 ${\hat{L}}_{z}^{2}$ ，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？

　　 (3) 测得的角动量分量 $L_{z}$ 的可能值和相应几率为多少？

3. 第三题:(20 分)

　　一质量为 $m$ 的粒子处于势场 $V (x)$ 中运动，若

　　 (1) $V (x) = {\begin{cases} \infty, & | x | > a \\ 0, & | x | \leq a \end{cases}$ 则该粒子的本征能量为多少？

　　 (2) $V (x) = a δ (x), a < 0 为已知常数, 则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？$

　　 (3) $V (x) = {\begin{cases} V_{0} δ (x), & | x | < a \\ \infty, & | x | \geq a \end{cases}, V_{0} > 0$ 是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？

　　 (4) 能量为 $E$ 的平行粒子束，以入射角 $θ$ 的射向平面 $x = 0$ , 在区域 $x < 0$ , $V = 0$ , 在区域 $x > 0$ , $V = - V_{0}$ . 试从量子力学的角度，分析粒子的反射及折射规律。（用 $θ$ 及 $n = {(1 + \frac{V_{0}}{E})}^{\frac{1}{2}}$ 表示反射几率 $R$ 及折射几率 $D$ 。）

4. 第四题:(15 分)

　　 (1) 如何证明一个算符为厄米算符？算符 $\hat{A} = i ℏ x \frac{d}{d x}$ 是否为厄米算符？

　　 (2) 若 $[\hat{x}, \hat{p_{x}}] = i ℏ$ ，计算并易于 $[{\hat{x}}^{3}, {\hat{p_{x}}}^{3}]$ 。

　　 (3) 证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。

　　 (4) 为什么物理量要用厄米算符来表示？

　　下面三组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答。

5. 第五题:(15 分)

　　在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为 $m$ 相互作用势用

　　 $V (x) = \frac{1}{2} m (ω_{1}^{2} x^{2} + ω_{2} x + e)$

　　来表示，其中 $ω, ω_{2}, e$ 为常数。若 $⟨ \hat{x} ⟩_{t - 0} = 0$ ， $⟨ \hat{p} ⟩_{t - 0} = 0$ ，问其位移 $x$ 的平均值与时间的关系为何？

6. 第六题:(15 分)

　　如果有一个二能级系统 $| 1 ⟩$ , $| 2 ⟩$ ，其相应的能量分别为 $E_{1}$ , $E_{2}$ ，哈密顿算符的有关矩阵元为

　　 $⟨ 1 | \hat{H} | 1 ⟩ = E_{1} + b, ⟨ 2 | \hat{H} | 2 ⟩ = E_{2} + b, ⟨ 1 | \hat{H} | 2 ⟩ = ⟨ 2 | \hat{H} | 1 ⟩ = a$

　　其中 $E_{1}, E_{2}, a, b$ 为已知常数，满足一切近似条件。问：

　　 1. 若以 $| 1 ⟩, | 2 ⟩$ 为零级近似波函数，至一级近似，本征能量为何？

　　 2. 至二级近似，本征能量为何？

7. 第七题:(15 分)

　　若有一质量为 $m$ 的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为 $μ$ ，势场形式为 $V (r) = {\begin{cases} - V_{0}, & r < a \\ 0, & r \geq a \end{cases}$ $V_{0} > 0$ ， $a$ 为已知常数。问：

　　 1. 使用玻恩近似化还是用分波法比较合适？

　　 2. 试问相移 $δ_{l}$ 的正弦与散射势能及散射波函数的关系为何？

　　 3. 求出零级近似下的微分散射截面。

　　 4. 若不知道势场 $V (r)$ 的具体形式，能否利用散射实验来确定 $V (r)$ ？

8. 第八题:（15 分）

　　试证固体物理学中常用的 Thomas-Reiche-Kuhn 求和规则：

　　 $\sum_{n} (E_{n} - E_{a}) {| ⟨ n | \hat{x} | a ⟩ |}^{2} = \frac{ℏ^{2}}{2 m}$

　　其中， $| n ⟩, | a ⟩$ 为系统的两个任意的能态， $E_{n}, E_{a}$ 为任意两个能级的能量， $m$ 为粒子的质量。

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