亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）（综述）

                     

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图 1：约瑟夫·海默绘《德·莫弗像》，1736 年

　　 亚伯拉罕·德·莫弗尔爵士（Abraham de Moivre FRS，法语发音：[abʁaam də mwavʁ]，1667 年 5 月 26 日－1754 年 11 月 27 日）是一位法国数学家，以 “德·莫弗公式” 闻名——这是一个将复数与三角函数联系起来的公式。他还因在正态分布和概率论方面的工作而享有盛誉。

　　 由于法国对胡格诺派的新教徒进行宗教迫害，特别是在 1685 年《枫丹白露敕令》颁布后达到高潮，他年少时迁居英格兰。他是艾萨克·牛顿、埃德蒙·哈雷和詹姆斯·斯特林的朋友。在英格兰的胡格诺派流亡者中，他也是编辑和翻译家皮埃尔·德·梅佐的同僚。

　　 德·莫弗尔撰写了一本关于概率论的著作《机会论》，据说广受赌徒欢迎。他最早发现了比奈公式，这是一个将黄金分割数 φ 的 n 次幂与第 n 个斐波那契数联系起来的闭式表达式。他同样是最早提出中心极限定理的人之一，该定理是现代概率论的基石。

1. 生平

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图 2：《机遇论》，1756 年

早年经历

　　 亚伯拉罕·德·莫弗于 1667 年 5 月 26 日出生在香槟地区的维特里勒弗朗索瓦。他的父亲丹尼尔·德·莫弗是一名外科医生，非常重视教育。尽管德·莫弗一家是新教徒，他最初却在当地的天主教基督兄弟会学校就读，这在当时宗教紧张的法国是相当少见的宽容表现。在他 11 岁时，父母将他送往色当新教学院就读。在那里他学习了四年希腊文，老师是雅克·迪朗代尔。这所新教学院建于 1579 年，由亨利-罗贝尔·德·拉·马克的遗孀弗朗索瓦丝·德·波旁倡议创办。

　　 1682 年，色当新教学院被当局关闭，德·莫弗转而前往索米尔学习逻辑学，为期两年。尽管数学并不在他的正式课程中，德·莫弗却自学了多部数学著作，包括法国奥拉托利会神父及数学家让·普雷斯特的《数学基础》，以及荷兰物理学家、数学家、天文学家和发明家克里斯蒂安·惠更撰写的赌博概率小册子《掷骰游戏中的推理》。1684 年，德·莫弗搬到巴黎学习物理学，并首次接受系统的数学训练，跟随雅克·奥扎南进行私人学习。

　　 1685 年，法国国王路易十四颁布《枫丹白露敕令》，废除了给予法国新教徒广泛权利的《南特敕令》。这一法令严重压制新教信仰，禁止新教礼拜，强制要求所有儿童由天主教神父施洗。德·莫弗被送往圣马丹修道院附属学校，这是当局用来对新教儿童进行天主教灌输的场所。

　　 目前尚不清楚德·莫弗何时离开圣马丹修道院并迁往英格兰。修道院的记录显示他在 1688 年离开，而德·莫弗和他的兄弟则于 1687 年 8 月 28 日以胡格诺派身份加入伦敦的萨伏伊教会。

中年时期

　　 抵达伦敦时，德·莫弗已经是一位具有扎实数学功底的人，熟悉当时许多标准教材。\(^\text{[1]}\) 为了谋生，他成为一名数学私人教师，在伦敦各地拜访学生授课，或在咖啡馆里讲授数学。他在一次拜访德文郡伯爵时看到牛顿的新书《自然哲学的数学原理》，便继续深入研究数学。翻阅该书后，他意识到这本书远比他以前读过的任何书都要深奥，于是下定决心要通读并理解它。然而，由于他每天要在伦敦各地奔波授课，没有太多时间静心学习，他便将书页撕下放入口袋，利用课间穿梭的空隙阅读。

　　 据一个可能是传说的故事称，牛顿晚年时常把前来请教数学问题的人转交给德·莫弗，并说：“这些问题他比我更懂。”\(^\text{[2]}\)

　　 到 1692 年，德·莫弗已与埃德蒙·哈雷成为朋友，不久后也与牛顿结识。1695 年，哈雷将德·莫弗根据研究《原理》中 “流数” 而写的第一篇数学论文提交给皇家学会，并于同年发表在《哲学汇刊》上。不久之后，他又将牛顿著名的二项式定理推广为多项式定理。该方法于 1697 年被皇家学会知悉，并于当年 11 月 30 日将德·莫弗选为会员。

　　 成为会员后，在哈雷的鼓励下，德·莫弗开始将注意力转向天文学。1705 年，他凭直觉发现：“任一行星的向心力与其到中心的距离成正比，与回转体直径与垂直于切线的立方乘积成反比。” 换言之，若某行星 M 绕焦点 F 作椭圆轨道运动，在某点 P，PM 是椭圆切线，且 FPM 为直角（即 FP 为切线的垂线），则 P 点处的向心力与 FM / (R·(FP)³) 成正比，其中 R 是 M 点处的曲率半径。瑞士数学家约翰·伯努利于 1710 年证明了这一公式。

　　 尽管学术上取得诸多成果，德·莫弗始终未能获得大学数学教授职位，这使他不得不长期依赖费时的家教工作维生，而这对他造成的负担远大于同时代许多数学家。这种境况部分源于当时英国人对法国出身者的偏见。\(^\text{[3][4][5]}\)

　　 1697 年 11 月，他被选为皇家学会会员 \(^\text{[1]}\)，1712 年被任命为一个由该学会组建的委员会成员，负责评议牛顿和莱布尼茨在微积分发明上的优先权争议。该委员会成员还包括阿布斯诺特、希尔、哈雷、琼斯、马金、伯内特、罗巴茨、博内、阿斯顿和泰勒等人。关于这场争议的详细内容，可参见 “莱布尼茨与牛顿的微积分争议” 词条。

　　 德·莫弗终生贫困。据说他是圣马丁巷与克兰本街交汇处 “老斯劳特咖啡馆” 的常客，在那里靠下棋赚取微薄收入。

晚年时期

　　 德·莫弗直到 1754 年去世前一直在研究概率与数学领域。去世后，还有几篇他的论文陆续发表。随着年龄增长，他变得愈发迟钝，睡眠时间也越来越长。人们普遍流传这样一个说法：德·莫弗注意到自己每晚比前一晚多睡 15 分钟，并据此精确计算出自己死亡的日期——当他的睡眠时间累计达到 24 小时的那天，即 1754 年 11 月 27 日。恰巧，他的确在那一天于伦敦去世，遗体最初安葬于圣马丁教堂，但后来被迁葬。

　　 不过，这一 “预言自己死亡日期” 的说法并没有在当时留下任何文献记录，因此真实性受到质疑。\(^\text{[7]}\)

2. 概率论

　　 德·莫弗在解析几何和概率论的发展中起到了开创性作用，他在前人的基础上，尤其是克里斯蒂安·惠更斯和伯努利家族成员的工作之上，进一步扩展了这些理论。他撰写了概率论的第二本教科书《机遇论：一种计算游戏中事件概率的方法》。（关于博弈的第一本著作是吉罗拉莫·卡尔达诺在 16 世纪 60 年代撰写的《掷骰之书》，但直到 1663 年才出版。）

　　 这本书共有四个版本：1711 年拉丁文版，以及 1718 年、1738 年和 1756 年的英文版。在后续版本中，德·莫弗加入了他 1733 年未发表的一项成果，即用我们今天称为正态分布或高斯函数的形式，对二项分布进行近似的首次陈述 \(^\text{[8]}\)。这是第一次提出用分布的变异性（即标准差）为单位来计算某个误差大小的概率的方法，也是首次识别 “可能误差” 的计算。这些理论他还应用于赌博问题与年金计算表。

　　 在概率论中，常见表达式之一是阶乘 $n!$，但在没有计算器的年代，计算较大 $n$ 的阶乘非常耗时。德·莫弗于 1733 年提出了一个估算阶乘的公式：$n! \approx cn^{(n + 1/2)} e^{-n}$ 他得出了常数 $c$ 的近似表达式，而后由詹姆斯·斯特林（James Stirling）指出该常数为 $\sqrt{2\pi}$\(^\text{[9]}\)。

　　 德·莫弗还发表了题为《生命年金》的文章，首次揭示了随年龄变化的死亡率呈正态分布。基于此，他提出了一个简便公式，可用于估算基于个人年龄的年金支付收入。这类似于现代保险公司使用的公式类型。

关于泊松分布的优先权问题

　　 一些关于泊松分布的结果最早由德·莫弗在《运气衡量，或关于由偶然事件决定的游戏中事件概率的研究》）中首次提出，并发表于《皇家学会哲学汇刊》第 219 页 \(^\text{[10]}\)。因此，有些学者主张应将泊松分布命名为 “德·莫弗分布”\(^\text{[11][12]}\)。

3. 德·莫弗公式

　　 1707 年，德·莫弗推导出一个方程式，从中可以得到如下公式： $$ \cos x = \tfrac{1}{2}( \cos\left(nx\right) + i \sin\left(nx\right) )^{1/n} + \tfrac{1}{2}( \cos\left(nx\right) - i \sin\left(nx\right) )^{1/n}~ $$ 他证明了该公式对所有正整数 $n$ 都成立 \(^\text{[13][14]}\)。1722 年，他提出了另一组方程式，从中可以推导出更为人熟知的德·莫弗公式形式： $$ (\cos x + i \sin x)^n = \cos\left(nx\right) + i \sin\left(nx\right) ^\text{[15][16]}~ $$ 1749 年，欧拉使用他自己的欧拉公式对该公式进行了推广，证明了它对于任意实数 \( n \) 成立，这使得证明过程相当简洁 \(^\text{[17]}\)。这条公式非常重要，因为它将复数与三角函数联系了起来。此外，该公式还可用于从 \(\cos x\) 和 \(\sin x\) 推导出 \( \cos\left(nx\right) \) 和 \( \sin\left(nx\right) \) 的有用表达式。

4. 斯特林近似

　　 德·莫弗长期研究概率论，他的研究要求他计算二项式系数，而这又需要计算阶乘 \(^\text{[18][19]}\)。1730 年，德·莫弗出版了著作《分析杂集：级数与求积》（拉丁文原名 *Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis*），其中包含了 $ \log\left(n!\right) $ 的对数表 \(^\text{[20]}\)。对于较大的 $n$ 值，德·莫弗提出了对二项展开中项系数的近似计算方法。具体来说，对于一个偶数且足够大的正整数 $n$，德·莫弗给出如下对 $(1 + 1)^n$ 中间项系数的近似公式 \(^\text{[21][22]}\)： $$ \binom{n}{n/2} = \frac{n!}{\left(\left(\frac{n}{2}\right)!\right)^2} \approx 2^n \cdot \frac{2 \cdot \frac{21}{125}(n-1)^{n-\frac{1}{2}}}{n^n}~ $$ 1729 年 6 月 19 日，詹姆斯·斯特林（James Stirling）给德·莫弗写了一封信，展示了他是如何对大的 $n$ 值下的二项式展开 $(a + b)^n$ 中的中项系数进行计算的 \(^\text{[23][24]}\)。1730 年，斯特林出版了他的著作《微分方法》（拉丁文原名 Methodus Differentialis），其中给出了 $ \log\left(n!\right) $ 的级数表达式 \(^\text{[25]}\)： $$ \log_{10} \left(n + \tfrac{1}{2}\right)! \approx \log_{10} \sqrt{2\pi} + n \log_{10} n - \frac{n}{\ln 10}~ $$ 因此，对于大的 $n$，可以得到：$n! \approx \sqrt{2\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

　　 1733 年 11 月 12 日，德·莫弗私下出版并分发了一本小册子，名为《对二项式 \((a + b)^n\) 展开式各项之和的近似》（拉丁文原名 Approximatio ad Summam Terminorum Binomii \((a + b)^n\)in Seriem expansi），在其中他承认了斯特林的信件内容，并提出了一个对二项式展开中项的新近似公式 \(^\text{[26]}\)。

5. 参见

6. 注释

  1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abraham de Moivre”，圣安德鲁斯大学 MacTutor 数学史档案
  2. Bellhouse, David R.（2011）。《Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications》。伦敦：Taylor & Francis，第 99 页。ISBN 978-1-56881-349-3。
  3. Coughlin, Raymond F.; Zitarelli, David E.（1984）。《The Ascent of Mathematics》。McGraw-Hill，第 437 页。ISBN 0-07-013215-1。不幸的是，因为德·莫弗不是英国人，他从未能获得大学的教职。
  4. Jungnickel, Christa；McCormmach, Russell（1996）。《Cavendish》。美国哲学学会回忆录，第 220 卷。美国哲学学会，第 52 页。ISBN 9780871692207。尽管他在数学界人脉广泛，工作也备受推崇，但他仍然无法找到一份好工作。甚至他在 1705 年皈依英格兰教会，也未能改变他是 “外来者” 的事实。
  5. Tanton, James Stuart（2005）。《数学百科全书》。Infobase Publishing，第 122 页。ISBN 9780816051243。他原希望获得数学教师职位，但作为外国人，从未获得此类任命。
  6. Cajori, Florian（1991）。《数学史》（第 5 版）。美国数学学会，第 229 页。ISBN 9780821821022。
  7. “传记细节——亚伯拉罕·德·莫弗真的预测了自己的死亡吗？”
  8. 参见：
    • Abraham De Moivre（1733 年 11 月 12 日），“Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)^n in seriem expansi”（自印小册子），7 页。
    • 英文译本：A. De Moivre，《The Doctrine of Chances…》，第 2 版（伦敦：H. Woodfall，1738 年），第 235–243 页
  9. Pearson, Karl（1924）。“关于正态误差曲线起源的历史说明”。《Biometrika》，16(3–4)：402–404。doi:10.1093/biomet/16.3-4.402。
  10. Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp, A.W.（1993）。《单变量离散分布》（第 2 版）。Wiley。ISBN 0-471-54897-9，第 157 页。
  11. Stigler, Stephen M.（1982）。“泊松论泊松分布”。《统计与概率通讯》，1：33–35。doi:10.1016/0167-7152(82)90010-4。
  12. Hald, Anders；de Moivre, Abraham；McClintock, Bruce（1984）。《A. de Moivre：《De Mensura Sortis》或《机会测量论》》。《国际统计评论》，1984 年第 3 期：229–262。JSTOR 1403045。
  13. 莫弗，Ab. de（1707 年）。“Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica”（关于三次、五次、七次、九次以及更高次方的某些方程，通过有限项的展开，类似于所谓卡尔达诺三次方程法则的解析解法）《伦敦皇家学会哲学汇刊》（拉丁文），第 25 卷，第 309 期：2368–2371。doi:10.1098/rstl.1706.0037。S2CID 186209627。
    • 理查德·J·普尔斯坎普（Richard J. Pulskamp）于 2009 年提供英文翻译。 在第 2370 页，德·莫弗指出，如果一个级数具有以下形式： $$ ny + \frac{1 - nn}{2 \times 3}ny^3 + \frac{1 - nn}{2 \times 3} \cdot \frac{9 - nn}{4 \times 5}ny^5 + \frac{1 - nn}{2 \times 3} \cdot \frac{9 - nn}{4 \times 5} \cdot \frac{25 - nn}{6 \times 7}ny^7 + \cdots = a~ $$ 其中 $n$ 是任意给定的奇整数（正或负），而 $y$ 和 $a$ 可以是函数，那么在求解 $y$ 后，得到的结果是同页的公式（2）： $$ y = \frac{1}{2} \sqrt[n]{a + \sqrt{aa - 1}} + \frac{1}{2} \sqrt[n]{a - \sqrt{aa - 1}}~ $$ 如果设 $y = \cos x$，且 $a = \cos\left(nx\right) $，则结果为： $$ \cos x = \frac{1}{2}( \cos\left(nx\right) + i \sin\left(nx\right) )^{1/n} + \frac{1}{2}( \cos\left(nx\right) - i \sin\left(nx\right) )^{1/n}~ $$ 这正是后来的 “莫弗公式” 的一种形式。
    • 1676 年，艾萨克·牛顿发现了两个弦长之比为 $n:1$ 时的关系，并用上述级数表达了这种关系。该级数出现在牛顿于 1676 年 6 月 13 日写给皇家学会秘书亨利·奥登堡的信中——《Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi;…》。该信件的副本也被转交给了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。参见以下资料第 106 页：Biot, J.-B.; Lefort, F. 编 (1856). 《Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou…》（拉丁文），法国巴黎：Mallet-Bachelier 出版社，第 102–112 页。
    • 1698 年，德·莫弗独立推导出了相同的级数。参见： de Moivre, A. (1698). “A method of extracting roots of an infinite equation”（从无限方程中提取根的方法），发表于《伦敦皇家学会哲学汇刊》, 第 20 卷，第 240 期，第 190–193 页，doi:10.1098/rstl.1698.0034，S2CID 186214144；见第 192 页。
    • 1730 年，德·莫弗明确考虑了函数为 cos θ 和 cos nθ 的情形。参见：Moivre, A. de（1730 年）《杂项分析：级数与求积》（拉丁文），英国伦敦：J. Tonson & J. Watts，第 1 页。 原文第 1 页写道： “引理 1：若 l 与 x 为两个圆弧 A 与 B 的余弦值，这两个圆弧由同一半径 1 所描出，且前者是后者的 n 倍，即两者之比为 n : 1，那么有： $$ x = \tfrac{1}{2} \sqrt[n]{l + \sqrt{ll - 1}} + \tfrac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{l + \sqrt{ll - 1}}}~ $$ （若 l 与 x 分别为两个圆弧 A 与 B 的余弦值，这两个圆弧由相同的单位半径 1 所描出，且弧 A 是弧 B 的 n 倍，那么就有上述关系成立。）” 因此，如果弧 A = n × 弧 B，那么 l = cos A = cos nB，x = cos B。 于是可以得到如下表达式： $$ \cos B = \tfrac{1}{2} \left( \cos\left(nB\right) + \sqrt{-1} \sin\left(nB\right) \right)^{1/n} + \tfrac{1}{2} \left( \cos\left(nB\right) + \sqrt{-1} \sin\left(nB\right) \right)^{-1/n}~ $$ 参见：
    • 康托尔，莫里茨（1898）：《数学史讲义》，Teuber 数学图书馆系列第 8–9 卷，第 3 卷，德国莱比锡：B.G. Teubner 出版社，第 624 页。
    • 冯·布劳恩米尔，A.（1901）：《关于所谓莫弗公式起源的历史》，《数学图书馆》第三辑第 2 卷，第 97–102 页；参见第 98 页。
  14. 史密斯，戴维·尤金（1959）：《数学原典选读》第三卷，Courier Dover 出版社，第 444 页，ISBN 9780486646909。
  15. 德·莫弗，A.（1722）：《关于角的分割》，载于《伦敦皇家学会哲学汇刊》第 32 卷第 374 期，第 228–230 页。doi:10.1098/rstl.1722.0039，S2CID 186210081。检索日期：2020 年 6 月 6 日。
    • 英文翻译：理查德·J·普尔斯坎普，2009 年完成，2020 年 11 月 28 日存档于 Wayback Machine。 第 229 页摘录如下： “设 x 为任意弧的正矢（即 x = 1 – cos θ）； 设 t 为另一弧的正矢； 设圆的半径为 1； 若第一弧与第二弧之比为 1 : n（即 t = 1 – cos nθ），那么，设以下两个可称为 “相关” 的方程：  1 – 2zⁿ + z²ⁿ = –2zⁿt  1 – 2z + z² = –2zx 消去 z 后，即得出确定 x 与 t 之间关系的方程。” 换句话说，给定以下两个方程：1 – 2zⁿ + z²ⁿ = –2zⁿ (1 – cos nθ)1 – 2z + z² = –2z (1 – cos θ) 使用求解一元二次方程的方法，分别对第一个方程中的 zⁿ 和第二个方程中的 z 解出，结果将是：zⁿ = cos nθ ± i sin nθ z = cos θ ± i sin θ 从而立即得出：   (cos θ ± i sin θ)ⁿ = cos nθ ± i sin nθ
      参见：
    • 史密斯，戴维·尤金，《数学原典选读》，第二卷，纽约市：多佛出版公司，1959 年，第 444–446 页，见第 445 页脚注 1。
  16. 1738 年，德·莫弗运用三角法来求实数或复数的 n 次方根。参见：
    Moivre, A. de（1738），《De reductione radicalium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio $a + \sqrt{+b}$，或 $a + \sqrt{-b}$。书信》，发表于 *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*（拉丁文），第 40 卷（451）：463–478，doi:10.1098/rstl.1737.0081，S2CID 186210174。
    第 475 页内容节选如下：
    问题 III：设从复二项式 $a + \sqrt{-b}$ 中提取一个 n 次方根……我们只考虑那些弧大于直角（即大于四分之一圆）的负值。
    解法：
    设其方根为 $x + \sqrt{-y}$，则定义：$\sqrt[n]{aa + b} = m$,$\frac{n + 1}{2} = p$ 作一圆，其半径为 $\sqrt{m}$，在该圆上设有某弧 A，使得该弧的余弦为：$\cos A = \frac{a}{m^p}$ 设圆的周长为 $C$，则在同一半径下，取如下各弧的余弦值：$\frac{A}{n},\; \frac{C - A}{n},\; \frac{C + A}{n},\; \frac{2C - A}{n},\; \frac{2C + A}{n},\; \frac{3C - A}{n},\; \frac{3C + A}{n}$……
    如此类推，直到弧的数量等于 n。此时便有 n 个余弦值，每一个都对应一个 x 的值，x 与 y 有如下关系：$y = m - xx$
    特别需要注意的是（尽管之前已提到）：若某弧小于直角，则其余弦视为正值；若某弧大于直角，则其余弦视为负值。
    参见：
    • 布劳恩米尔，A·冯（1903）。《三角学史讲义》（德语原文），第 2 卷。德国莱比锡：B.G. 图布纳出版社，第 76–77 页。
  17. 欧拉（1749 年）。“关于方程虚根的研究”（法语原文）。载于《柏林科学院纪要》，第 5 卷，第 222–288 页。参见第 260–261 页：“定理十三，第 70 节。无论从实数还是形如 M + N√−1 的虚数中提取哪种次数的根，这些根始终是实数或相同形式的虚数 M + N√−1。”
  18. 从 1721 年或更早开始，德·莫阿弗一直在尝试求出当 n 很大时 (1 + 1)ⁿ 的中间项系数。在他于 1733 年 11 月 12 日私下印发的小册子《二项式 (a + b)ⁿ 展开式各项和的近似计算》中，他提到自己早在十二年前就开始研究这个问题：
    “Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram;…”（我找到这个结果已经有十二年或更久了；……）
    • （Archibald，1926 年），第 677 页；
    • （de Moivre，1738 年），第 235 页。
    德·莫阿弗还将他寻找二项展开中间项近似值的动机归功于亚历山大·卡明（约 1690–1775），一位苏格兰贵族和伦敦皇家学会成员，据称是在 1721 年激发了他的研究兴趣。（de Moivre，1730 年），第 99 页。
  19. 德·莫阿弗与斯特林在发现斯特林公式中的作用详见以下文献：
    • Jacques Gélinas（2017 年 1 月 24 日），“Stirling 级数 log(N!) 的原始证明”，发表于 arxiv.org；
    • Denis Lanier 与 Didier Trotoux（1998 年），“斯特林公式”（法语原文），载于法国数学教学研究所（IREM）出版的《分析与分析方法：笛卡尔的侄辈们——第十一届 IREM 数学史与认识论联合研讨会论文集，1996 年 5 月 10–11 日，法国兰斯》，第 231–286 页。
  20. 德·莫阿弗，A.（1730 年）。《级数与求积法杂集》（拉丁文原名 Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis，意为 “级数与求积法[即积分]的分析杂集”）。英国伦敦：J. Tonson & J. Watts 出版，第 103–104 页。
  21. 摘自第 102 页：“问题三：求在一个极大且为偶数次幂的二项式展开中，中间项的系数，或者求该中间项的系数与所有系数之和之间的比值。……近似为 1。”
    译文如下：
    （问题三）求在一个非常大的偶数幂展开式中，中间项的系数，或求中间项系数与所有系数之和的比值。
    解：设 $n$ 为二项式 $(a + b)^n$ 的幂指数，令 $a = b = 1$，则中间项与总和 $(a + b)^n = 2^n$ 的比值（注：二项式 $(1 + 1)^n$ 的所有系数之和为 $2^n$）近似为： $$ \frac{2(n - 1)^{n - \frac{1}{2}}}{n^n}~ $$ 接着德·莫阿弗指出：“但当某些可以更精确求解的问题被时间限制所耽搁而未能处理时，我便通过重新积分（re-integration）法对其进行修正，从而恢复那些原先被略去的精确量；如此，我最终能够得出更精确的比值近似为： $$ \frac{2 \cdot \frac{21}{125} \cdot (n - 1)^{n - \frac{1}{2}}}{n^n} \quad \text{或} \quad \frac{2 \cdot \frac{21}{125} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n}{\sqrt{n - 1}}~ $$ 该近似式： $$ \frac{2 \cdot \frac{21}{125} \cdot (n - 1)^{n - \frac{1}{2}}}{n^n}~ $$ 是从《级数与求积法杂集》第 124–128 页中推导出来的。
  22. 德·莫阿弗通过只取一个级数的前四项，近似估算了一个常数的值 $\displaystyle 2\frac{21}{125}$。他原以为该级数是收敛的，但英国数学家托马斯·贝叶斯（约 1701–1761）发现，该级数实际上是发散的。
    以下是摘自《级数与求积法杂集》（de Moivre, 1730）第 127–128 页的原文与翻译：
    “Cum vero perciperem has Series valde implicatas evadere,…conclusi factorem 2.168 seu $\displaystyle 2\frac{21}{125},\ldots$”
    译文如下：
    “但当我意识到这些级数极其复杂，虽然都可以完全求和，我认为最好的做法就是将其化为无穷情况；于是我设 $m \to \infty$，那么第一个有理级数的和就会约化为 $\frac{1}{12}$，第二个的和则是 $\frac{1}{360}$，如此一来，所有级数的总和便可得出。从这个级数 $$ \frac{1}{12} - \frac{1}{360} + \frac{1}{1260} - \frac{1}{1680} + \cdots~ $$ 中，你可以任意丢弃若干项，我决定保留前四项，因为它们已足以给出相当精确的近似。此时若该级数收敛，其项将以正负交替递减，由此可推断首项 $\frac{1}{12}$ 大于整个级数的和，或说首项大于所有正项与负项之差。而该项应被视为某个双曲对数（即自然对数）；进一步计算可得，与此对数相对应的数大约为 1.0869（因为 $ \ln\left(1.0869\right) \approx \frac{1}{12}$），将此数乘以 2 得 2.1738。
    因此，在将一个二项式展开到无穷次幂（设其幂指数为 $n$）的情况下，表达式： $$ \frac{2.1738 \cdot (n-1)^{n - \frac{1}{2}}}{n^n}~ $$ 将大于中间项与所有项之和的比值。而进一步查看其余项，可以发现因子 2.1676 稍小于该比值，2.1695 稍大，2.1682 则略微小于真实值。综合这些情况，我得出结论认为该因子约为 2.168，亦即：$\displaystyle 2\frac{21}{125}$ 注：德·莫阿弗所寻求的因子是：$\frac{2e}{\sqrt{2\pi}} = 2.16887\ldots$ ——引自 Lanier & Trotoux (1998)，第 237 页。
    • 托马斯·贝叶斯在 1763 年 12 月 31 日的一封信中指出该级数实际是发散的：Bayes, Thomas (1763 年 12 月 31 日)，《已故贝叶斯先生致皇家学会成员 John Canton 的信》，发表于《英国皇家学会哲学汇刊》第 53 卷，第 269–271 页。DOI: [10.1098/rstl.1763.0044](https://doi.org/10.1098/rstl.1763.0044)。
  23. （引自《de Moivre, 1730》，第 170–172 页）
  24. 在斯特林（James Stirling）于 1729 年 6 月 19 日写给德·莫阿弗（Abraham de Moivre）的信中，斯特林提到他 “大约在四年前”（拉丁文原文：“quadrienium circiter abhinc”，即大约是 1725 年）曾写信给亚历山大·卡明（Alexander Cuming），内容包括使用艾萨克·牛顿的微分法来近似计算二项式展开中间项的系数。
    斯特林承认，德·莫阿弗在多年前就已解决了这个问题，他写道：
    “respondit Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias.”
    译文如下：
    “这位最尊贵的人（指卡明）回答说，他怀疑你数年前所解决的问题——即关于在任意次幂的二项式中找出中间项的行为——是否能通过微分方法来解决。” 斯特林继续写道，他在此之后才开始研究这个问题，但一开始进展缓慢。
    • （引自《de Moivre, 1730》，第 170 页）
    • 另见：Zabell, S.L.（2005 年）《对称性与其困扰：归纳概率史论文集》（Symmetry and Its Discontents: Essays on the History of Inductive Probability），美国纽约市：剑桥大学出版社，第 113 页。ISBN：9780521444705。
  25. 参见：
    • 斯特林，詹姆斯（1730）。《微分方法》。伦敦：G. Strahan。第 137 页。原文第 137 页节选：
      “Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalium 1, 2, 3, 4, 5, &c. pone z–n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $z \log\left(z\right) - a\,z - \frac{a}{24z} + \frac{7a}{2880\,z^3} - \dots$ additi Logarithmo circumferentiae Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi.”
      译文：
      “如果你想求自然数 $1,2,3,4,5,\dots$ 的若干对数之和，设第 $z - n$ 个为最后一项，且令 $n = \tfrac12$；取以下级数的三到四项
      $$ z \log\left(z\right) \;-\;a\,z\;-\;\frac{a}{24z}\;+\;\frac{7a}{2880z^3}\;-\;\dots~ $$ 再加上单位半径圆的周长对数（即 $\tfrac12 \log\left(2\pi\right) $，数值约为 0.39908 .99341 .79），便可得到所求的对数和。需要累加的对数越多，计算工作反而越轻松。”
      注：常数 $$ a = 0.434294481903252\quad(\text{即 }1/\ln 10)\quad\text{见第 135 页。}~ $$
    • 英文对照译本：斯特林，詹姆斯（1749）。The Differential Method。弗朗西斯·霍利迪（Francis Holliday）译，英国伦敦：E. Cave，第 121 页。（本书印刷时页码标注有误：实际第 125 页标为 “121”，126 页标为 “122”，以此类推至 129 页。）
  26. 参见：
    • Archibald, R.C.（1926 年 10 月）。《莫瓦尔的一本珍稀小册子及其若干发现》(A rare pamphlet of Moivre and some of his discoveries)。《伊西斯》(Isis)（英文与拉丁文），第 8 卷第 4 期，第 671–683 页。doi:10.1086/358439。S2CID 143827655。
    • 该小册子的英文译本见： 莫瓦尔，亚伯拉罕·德（1738 年）。《机遇论》（The Doctrine of Chances，第二版）。英国伦敦：作者自印。第 235–243 页。

7. 参考文献

延伸阅读

                     

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