厦门大学 2014 年 考研 量子力学

                     

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1. 一、

　　 （1）下列波函数所描述的状态是否为定态？并说明。

　　 ①$\varphi (x,t)=\phi (x)e^{\frac{i}{\hslash }Et}+\phi (x)e^{\frac{-i}{\hslash }Et}$

　　 ②$\varphi (x,t)=\phi (x{)}_1{e}^{\frac{i}{\hslash }(px-Et)}+\phi (x{)}_2{e}^{\frac{-i}{\hslash }(px+Et)}$

　　 2）已知算符 $A,B,C$ 中，$A$ 和 $B$ 对易，且 $A$ 和 $C$ 也对易，问 $B$ 和 $C$ 是否一定对易？举例说明你的结论。

　　 （3）对于全同粒子体系，什么是全同性原理？描写分别由电子和光子组成的全同粒子体系的波函数的特点。

　　 （4）什么是电子的自旋？电子自旋与轨道角动量有什么不同之处?

　　 （5）写出电磁场中带电粒子的薛定谔方程：它是否具有规范不变性？若有，指出在规范变换下波函数应作何变换？

2. 二、

　　 设质量为 m 的粒子处于下列一维无限深势阱中， $$V(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty },& X<0,x>a\end{array}$$ 已知初始时刻粒子的波函数为 $\varphi (X,0)=AX(a-X)$

　　 (1)求归一化系数 $A$;

　　 (2)给出粒子的能量本征态 ${\varphi }_n(X)$ 及其能级 $E_n$ ;

　　 (3)求测得粒子处于能量本征态 ${\varphi }_n(X)$ 的概率;

　　 (4)求 $t>0$ 时刻粒子的波函数 $\varphi (X,t)$，只要求给出计数表达式。

3. 三、

　　 已知哈密顿量 $\hat{A}$ 的本征矢为 $|n⟩$, 本征值为 $E_n$, 若 $\hat{A}$ 的本征矢组 $\{|n⟩\}$ 构成正交归一的完备基, 定义一个算符 $\hat{U}(m,n)=|m⟩⟨n|$

　　 (1) 计算对易式 $[\hat{H},\hat{U}(m,n)]$;

　　 (2) 证明 $\hat{U}(m,n){\hat{U}}^{+}(p,q)={\delta }_{nq}\hat{U}(m,p)$;

　　 (3) 计算 $\hat{U}(m,n)$ 的迹 $\mathrm{Tr}\{\hat{U}(m,n)\}$;

　　 (4) 若算符 $\hat{A}$ 的矩阵元为 $A_{mn}=⟨m|\hat{A}|n⟩$，证明：

　　 ① $\hat{A}=\sum _{mn}{A}_{mn}\hat{U}(m,n)$

　　 ②$A_{pq}=T_r\{\hat{A}{\hat{U}}^{+}(p,q)\}$

4. 四、

　　 一个质量为 $m$ 的一维粒子在如下势场中运动 $$V(X)=\frac{K}{2}(X-X_0{)}^2+V_0$$ 其中 $k,x_0,V_0$ 为已知量

　　 （1）给出该离子系统的定态波函数以及相应的能量本征值；

　　 （2）讨论系统的能及间距对 $k,x_0$ 以及 $V_0$ 的依赖关系；

　　 （3）该系统有无可能存在非束缚态？

5. 五、

　　 氢原子处于下列状态 $$\mathrm{\Phi }(r,s_z)=A\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{3}{5}}{\varphi }_{100}(\overrightarrow{r})+\sqrt{\frac{2}{5}}{\varphi }_{211}(\overrightarrow{r})\\ \\ \sqrt{\frac{2}{5}}{\varphi }_{100}(\overrightarrow{r})-\sqrt{\frac{2}{5}}{\varphi }_{200}(\overrightarrow{r})\end{array}\right)$$ 其中 ${\varphi }_{nlm}$ 为能量本征函数，$\hat{H}{\varphi }_{nlm}=E_n{\varphi }_{nlm}$，求

1. 归一化常数 $A$；
2. 轨道角动量 $L_z$ 的平均值；
3. 同时测量 $E=E_2$，$L^2=2{\hslash }^2$ 的概率；
4. 电子处于总角动量 $j=3/2$，$m_j=3/2$ 的概率。

6. 六、

　　 已知微扰前体系的哈密顿量 $H_0$ 存在一系列非简并能级 $E_n^{(0)}$，相应的能量本征态记为 $|n⟩$ ($n=0,1,2,3,\cdots$)。给定厄米算符 $A,B$，以及 $C=i[B,A]$，并且 $A,B,C$ 在微扰前基态 $|0⟩$ 下的平均值均为已知，记为 $A_0,B_0,C_0$。假设体系受到微扰作用，微扰算符可以表示为 $H^{\prime }=i\lambda [A,H_0]$（$\lambda$ 为实数小量）

　　 求：

　　 (1) 基态波函数的一阶修正；

　　 (2) 算符 $B$ 在修正后基态下的平均值（准确至 $\lambda$ 量级）。