厦门大学 2011 年 考研 量子力学

                     

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1. (25 分)简述题(每小题 5 分)

　　 (1) 波函数有没有物理含义？它的物理含义体现在哪里？物理上对波函数有哪些要求？

　　 (2) 什么是态矢？在什么情况下，可以用态矢来描述量子体系的特征？定念具有哪些性质？

　　 (3) 利用测不准关系，估算一维无限深势阱 $V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& |x|<a\\ \\ \mathrm{\infty },& |x|\ge a\end{array}$ 中质点为 $m$ 的粒子的基态能量。

　　 (4) 在希尔伯特 (Hilbert) 空间中，正交归一的完备基矢组设为{k)}，试分别就分立谱和连续谱情形，写出这组基天完备性的数学表示式。

　　 (5) 一来单能量无相互作用的粒子流，经中心势场 $V(r)$ 弹性散射后，在 $r=0$ 处的渐近解为 $$\psi =e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r},$$ 试解释 $\psi$ 表达式中第一项和第二项的物理意义，并说明 $f(\theta )$ 的含义。

2. (25 分)

　　 一维谐振子能量本征态记为 ${\psi }_n(x)$, 假设一个谐振子初始状态为

　　 $$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\psi }_0(x)+{\psi }_2(x)]$$

　　 试求: (1) 任意时刻 ($t>0$) 的波函数 $\psi (x,t)$;

　　 (2) 经过多少时间第一次演化为状态 $$\frac{1}{\sqrt{2}}[{\psi }_0(x)+i{\psi }_2(x)]$$.

3. (25 分)

　　 设质量为 $m$ 的一维粒子在如下势场中运动： $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x\le 0\\ \\ -\frac{\alpha {\hslash }^2}{mx},& x>0\end{array}$$ 其中 $\alpha >0$ 是一个系统参数。

　　 (1) 证明 ${\psi }_0(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ \\ Nx{e}^{-\alpha x},& x>0\end{array}$ 是该系统定念薛定谔方程的一个解，并求出相应的本征值:

　　 (2) 求出归一化因子 $N$。参考公式： $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-\alpha x}dx=\frac{n!}{{\alpha }^{n+1}}$$

　　 (3) 对于 ${\psi }_0(x)$ 态，计算平均动能和平均势能。

　　 (4) 对于 ${\psi }_0(x)$ 态，计算何处几率密度最大。

　　 (5) 判断 ${\psi }_0(x)$ 态是否为基态？给出判断理由。

4. (25 分)

　　 对于任意一个幺正算符 $U$

　　 (1) 若把 $U$ 表示成 $U=A+iB$ 的形式，证明 $A$ 和 $B$ 必为厄米 (Hermite) 算符，且满足 $A^2+B^2=1$，$[A,B]=0$。

　　 (2) 若把 $U$ 表示成 $U=e^{iF}$，证明 $F$ 必为厄米算符。

5. (25 分)

　　 某单价原子，已知价电子的波函数(不考虑自旋)为 $$\psi (r,\theta ,\phi )=R_{32}(r)\frac{1}{\sqrt{2}}[Y_{21}(\theta ,\varphi )+Y_{20}(\theta ,\varphi )]$$ 其中 $Y_{im}$ 为轨道角动量算符广 ${\hat{L}}^2$ 和 ${\hat{L}}_2$ 的共同本征函数。

　　 求:(1)${\hat{L}}^2$ 和 ${\hat{L}}_2$ 的可能测量值和相应的概率;

　　 (2)平均值 ${\bar{L}}_x,{\bar{L}}_y,\overline{L_x^2},\overline{L_y^2}$

6. (25 分)

　　 自旋为 $\frac{1}{2}$ 的三维各向同性振子,受到微扰 $H^{\prime }=\lambda \overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{r}$ 的作用($\overrightarrow{\sigma }$ 是泡利(Pauli)自旋算符)。

　　 (1)写出在受到微扰作用之前，体系的哈密顿(Hamiton)量 $H_0$、能级.$E_n^0$ 和能量本征函数 ${\psi }_{n_1{n}_2{n}_y{n}_x}^0(x,y,z,S,)$ 指出 $n$ 与 $n_1,n_2,n_3$ 之间的关系。

　　 (2)将能量本征态 $|n_1,n_2,n_3,m_3⟩$ 简记为 $|n⟩$，若体系基态是 $|0⟩=|000\frac{1}{2}⟩$,证明在微扰矩阵元中 $⟨n|H^{\prime }|0⟩$ 中，只有 $⟨100-\frac{1}{2}|H^{\prime }|000\frac{1}{2}⟩$,$⟨010\frac{1}{2}|H^{\prime }|000\frac{1}{2}⟩$ 和 $⟨001\frac{1}{2}|H^{\prime }|000\frac{1}{2}⟩$ 不为零，并求出其值.

　　 (3)求基态能级的微扰修正(准确到二级近似)。【提示】一维谐振子的能量本征态,${\psi }_n(x)$ 满足 $$x{\psi }_n(x)=\frac{1}{\alpha }[\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x)]$$