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设质量为 m 的一维自由粒子初始态为 $\psi(x,t)$，证明在足够长时间后 $$\psi(x,t) = \sqrt{\frac{m}{\hbar t}} e^{-i\frac{\pi}{4}} \exp \left[ \frac{imx^2}{2\hbar t} \right] \cdot \varphi \left( \frac{mx}{\hbar t} \right)~$$
$$\text{式中}\varphi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x, 0) e^{-ikx} dx \quad \text{是} \quad \psi(x, 0) \quad \text{的傅里叶}~$$ $$\text{(Fourier) 变换.[ 附:} \quad \lim_{a \to \infty} \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} e^{i \frac{\pi}{4}} \exp\left(-i \alpha x^2\right) = \delta(x)]~$$
求证在角动量 $z$ 分量 $\hat{L_z}$ 的本征态下 $\overline{L_z} = \overline{L_y} = 0.$ $$\overline{L_x L_y} = \frac{1}{2} m \hbar^2 i = - \overline{L_y L_x}.~$$
对于一维谱振子，取基态试探波数形式为 $e^{-\lambda x^2}$，$\lambda$ 为参数。用变分法求基态能量，并与严格解比较,
设氢原子的状态是 $$\psi = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} R_{21}(r)Y_{11}(\theta, \varphi) \\\\-\frac{\sqrt{3}}{2} R_{21}(r)Y_{10}(\theta, \varphi)\end{pmatrix}~$$
(1) 求轨道角动量 $z$ 分量 $\hat{L}_z$ 和自旋角动量 $z$ 分量 $\hat{S}_z$ 的平均值。
(2) 求总磁矩 $\hat{\vec M} = -\frac{e}{2\mu} \hat{L} - \frac{e}{\mu} \hat{\vec S}$ 的 $z$ 分量的平均值 (用波尔磁矩表示)。
质量为 $m$ 的粒子在一维势场 $V(x)$ 中运动，能级为 $E_n^{(0)}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$
如受到微扰 $H' = \frac{\lambda}{m} p$ 作用（$\lambda$ 为常数，$p$ 是 $p_x$ 的简写），求能级修正。
（准确到二级近似）
[提示] $$\quad \sum_k \left( E_k^{(0)} - E_n^{(0)} \right) \left| x_{kn} \right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m}.~$$