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一个质量为 $m$ 的微观粒子在一维无限深势阱中运动
\[U(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < a \\\\\infty & x \leq 0, x \geq a \end{cases}~\]
其本征方程为
\[\hat{H} \varphi_n (x) = E_n \varphi_n (x), \quad n = 1, 2, 3, \ldots~\]
\(\varphi_n (x)\), \(E_n\) 分别为本征函数，本征值。
设 \( t = 0 \) 时粒子的初态波函数为
\[\psi (0) = c_1 \varphi_1 (x) + c_2 \varphi_2 (x) + c_3 \varphi_3 (x) + c_4 \varphi_4 (x)~\]
\(c_1, c_2, c_3, c_4\) 均为常数。
问
慢速粒子受到势能为 \[U(r) = \begin{cases} U_0, & r \leq a \\\\0, & r > a \end{cases}~\] 的场的散射，若 $E > U_0, U_0 < 0,$ (即势阱)，$U_0$ 为常数。试用分波法求散射截面（只考虑 $S$ 波项）
(1)两个自旋为 $1/2$ 的粒子形成一个复合体系，自旋 $A$ 处于 $S^\prime_z =+\frac{1}{2}$ 的本征态，自旋 $B$ 处于 $S^\prime_x=+\frac{1}{2}$ 的本征态，求总自旋为 1 且在 $Z$ 方向投彩为 0 的测量几率。
(2)试求:$\hat{\vec{\sigma}_1},\hat{\vec{\sigma}_2}$ 对于自旋三重态波函数 $X_t$,及自旋单态波函数 $X_s$ 的本征值。$\hat{\vec{\sigma}_1},\hat{\vec{\sigma}_2}$ 分别为第一个粒子和第二个粒子的 Paui 矩
考虑一个无自旋的粒子, 其波函数为 \[\psi = k (x + y + 2z) e^{-\alpha r}~\] 其中 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $ k$ 和 $a$ 是实常数, 试求 $\hat{L}_z$ 在此态上的平均值,$\hat{L}_z$ 为轨道角动量 $\hat{L}$ 的 $Z$ 分量。 \[Y_{1, \pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin \theta e^{\pm i\varphi}, \\ Y_{1,0} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta~\]
自旋为 0 的两个全同粒子在谐振子势场 \[U(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2~\] 中作一维运动，粒子间相互作用 \[U_{int}(x_1,x_2)=U_0e^{-\beta^2(x_1-x_2)^2}~\] 其中 $U_0$，$\beta$ 为实数。视 $U_{int}(x_1,x_2$)为微扰,求修正至一级的体系基态能量。 $$\left( \psi_0(x) = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi^{ \gamma_r }}} e^{-\alpha^2 x^2 / 2}, \quad \alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} . \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\lambda x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}},\quad \lambda > 0 \right)~$$