中国科学院大学 2017 年考研 量子力学

                     

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　　 一、已知一粒子处于一维无限深势阱时，势函数为 $$V=\{\begin{array}{ll}0& 0<x<a\\ \\ +\mathrm{\infty }& x<0,x>a\end{array}$$ 能量本征函数数为 ${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$，$t=0$ 时 $\psi (x,0)=Ax(a-x)$。

　　 (1) 求归一化系数 $A$

　　 (2) 求出 $t>0$ 时的波函数 $\psi (x,t)$

　　 (3) 该粒子处于基态和第一激发态的概率

　　 (4) $t>0$ 时，粒子坐标的平均值 $x$.

　　 二、如图，已知入射波函数为 $e^{i{k}_{1}x}$。

　　 (1) 求入射粒子的流密度

　　 (2) 当 $E=V_b$ 时，透射系数的取值为( )
A 0
B $0<T<1$
C 1

　　 (3) 为了怎发透射系数，可以采取的办法有( )
A 保持 $E=V_b$，降低 Va，但保证 $V_a>V_b$
B 在满足 $V_a>V_b$ 的条件下，使 $E>V_b$
C 保持 $E=V_b$，降低 Va,保证 $V_a<V_b$

　　 (4) 若已知入射波函数数为 $e^{i{k}_{1}x}$，反射波函数数为 $R{e}^{i{k}_{1}x}$，透射波函数数为 $S{e}^{i{k}_{2}x}$，其中 $k_1^2=\frac{2mE}{h^2},k_2^2=\frac{2m(E-V_b)}{h^2}$，透射系数为（）
A. $|S{|}^2$
B. $1-|R{|}^2$
C. 以上都不是

　　 　　 三、 (1) 证明量子体系满足 Ehrenfest 定理： $$\{\begin{array}{l}\frac{d\bar{x}}{dt}=\frac{\bar{p}}{m}\\ \\ \frac{d\bar{p}}{dt}=-⟨\frac{\overline{\partial V}}{\partial x}⟩\end{array}$$

　　 (2) 已知二维谐振子处于均匀电场 $({ϵ}_x,{ϵ}_y)$ 中，体系的 Hamilton 为 $H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{y}^2-q{ϵ}_{x}x-q{ϵ}_{y}y$ 当电场为 0 时求体系的能级

　　 (3) 以 $q$ 为参量利用 $HF$ 定理求在电场下的能级

　　 　　 四、 已知二体系统哈密顿为 $H=H_0+\lambda H^{\prime }$ 其中 $H_0=\left(\begin{array}{cc}{E}_1& 0\\ \\ 0& E_2\end{array}\right),H^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& ia\\ \\ -ia& 0\end{array}\right),$ 且 $\left|\frac{\lambda a}{E_2-E_1}\right|\ll 1$.
(1) 求能级的二级近似和波函数的一级近似
(2) 求出准确的的能级表达式并和上问进行比较

　　 　　 五、 已知晶格中两局域电子构成的体系： $H=S_x^{(1)}{s}_x^{(2)}+S_y^{(1)}{s}_y^{(2)}$

　　 (1) 若 $S=s^{(1)}+s^{(2)}$，$S_z=s_z^{(1)}+s_z^{(2)}$，求 $S^2$ 和 $S_z$ 的本征值

　　 (2) 用 $S$ 和 $S_z$ 表示 $H$

　　 (3) 求该体系哈密顿的能量本征值

　　 (4) 若外加一 $z$ 方向的磁场 $B$，求体系的能级