中国科学院大学 2021 年考研 811 量子力学

                     

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　　 一、 （30 分）能量为 $E$ 的粒子, 从负无穷远处沿着 $x$ 轴入射, 势场为 $$V(x)=\{\begin{array}{rlr}& 0,& x<0\\ & V_0,& 0<x<a\\ & \mathrm{\infty },& x>a\end{array}.$$ 其中 $E>V_0>0$, 求全空间的波函数 $\psi (x)$。

　　 二、（30 分）已知 $H$ 的两个本征态为 $|u_1⟩,|u_2⟩$ 分别对应于能昰 $E_1,E_2$。力学量 $A$ 的本征态为 $|{\varphi }_1⟩=\frac{|u_1⟩+\left|u_2\right|}{\sqrt{2}}$ 和 $|{\varphi }_2⟩=\frac{|u_1⟩-|u_2⟩}{\sqrt{2}}$, 分别对应本征值 $a_1,a_2,t=0$ 时, 粒子处于 $|{\varphi }_1⟩$ 态。求：

1. $t$ 时刻的态 $|\psi (t)⟩$;
2. $t$ 时刻力学量 $A$ 的期望值 $⟨A⟩(t)$。

　　 三、 对于自旋 $\frac{1}{2}$ 的体系, 已知哈密顿量 $H=S_x+S_y$。

1. 求 $H$ 的本征值和本征态;
2. 求在 (1) 问的低能级态 $|{\psi }_{-}⟩$ 下测到 $S_z=+\frac{\hslash }{2}$ 的概率;
3. 设 $t=0$ 时体系初态为 $|{\psi }_{-}⟩$。$t>0$ 时加入 $z$ 方向磁场 $\overrightarrow{B}=(0,0,B)$, 求 $t$ 时刻粒子处于初态的概 率。

　　 四、 （30 分） 在宽度为 $2a$ 的一维无限深势井中存在两个粒子,忽略相互作用。

1. 求能级 $E_{n_1,n_2}$;
2. 若两粒子为自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子，求基态与第一激发态的能级简并度以及相应的波函数;
3. 若两粒子为自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子，求基态与第一激发态的能级简并度以及相应的波函数。

　　 五、 氢原子处于基态,受到脉冲电场 $$\mathcal{E}(t)={\mathcal{E}}_0\delta (t)$$ 作用, ${\mathcal{E}}_0$ 为常数。已知波尔半径为 $a_0$, 矩阵元 $z_{n1}=\iiint {\psi }_n^{\ast }z{\psi }_1\mathrm{dV}$。

1. 利用选择定则判断粒子会跃迁到哪些激发态上;
2. 计算越签到各个激发态的概率;
3. 计算 $t$ 时刻粒子处于基态的概率。