天津大学 2016 年考研量子力学

                     

贡献者： Entanglement; addis

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1. 30 分

1. 氢原子波函数为 ${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{1}{A}}[{\Psi }_{210}(r,\theta ,\phi )+{\Psi }_{100}(r,\theta ,\phi )]}$，写出主量子数 n，以及角动量的平方和第三分量的可能值与相对应的几率。
2. 不计自旋，粒子在中心势场中运动的守恒量有哪些？
3. 有两个不对易的厄米算符，判断下列是否为厄米算符？
   (1)$BA$
   (2)$AB+BA$
   (3)$AB-BA$
   (4)$ABA$
   (5)$i(AB-BA)$

2. 30 分

　　 已知谐振子初态的波函数为 ${\displaystyle \Psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\Psi }_0(x)+{\Psi }_1(x)]}$，求任意时刻体系的波函数及 $x$ 的平均值。

3. 30 分

　　 已知粒子在 $U=\{\begin{array}{rl}& 0,0<x<\frac{a}{2}\\ & U_0,\frac{a}{2}<x<a\\ & \mathrm{\infty },x<0,x>a\end{array}$ 中运动，用微扰法求波函数至一级修正，能量至二级修正。

4. 30 分

　　 质量为 $M$ 的粒子在边长为 $a$ 的三维势阱中运动，求体系的能级和波函数，并讨论能级的简并度。

5. 30 分

1. 由三个粒子组成的自旋体系中，哈密顿量为 $\hat{H}=a{\mathbf{S}}_1\cdot {\mathbf{S}}_2+a{\mathbf{S}}_2\cdot {\mathbf{S}}_3+a{\mathbf{S}}_3\cdot {\mathbf{S}}_1$，问自旋的平方是否为守恒量，并解释其结果。
2. 已知中子自旋为 $\frac{1}{2}$，两个中子的相互作用为 $\hat{H}=g{\mathbf{S}}_1{\mathbf{S}}_2$，求 $\hat{H}$ 的本征值与本征函数，并解释本征值的简并度。