贡献者： Entanglement
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1.
- 频率为 $\omega$ 的简谐振子出于状态 $\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\psi_0(x)-\sqrt{\frac{2}{5}}\psi_1(x)-A\psi_2(x) $，将其归一化，并求能量平均值。
解：由 $ \left\lvert \frac{1}{\sqrt{5}} \right\rvert ^2+ \left\lvert -\sqrt{\frac{2}{5}} \right\rvert ^2+ \left\lvert A \right\rvert ^2=1$ 可得 $A=\sqrt{\frac{2}{5}}$
因为 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega$，所以 $E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega$，$E_1=\frac{3}{2}\hbar\omega$，$E_2=\frac{5}{2}\hbar\omega$。
因此能量的平均值为：
$\bar{E}=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\cdot\frac{1}{2}\hbar\omega+(-\sqrt{\frac{2}{5}})^2\cdot\frac{3}{2}\hbar\omega+(\sqrt{\frac{2}{5}})^2\cdot\frac{5}{2}\hbar\omega=\frac{17}{10}\hbar\omega $
- 波函数为什么可以归一化？
答：由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和为 1。因而粒子在空间各点出现的概率只决定了波函数在空间各点的相对强度，而不决定强度的绝对大小。
- 三维空间转子的哈密顿量是 $H=\frac{L^2}{2I}$，能量简并度是多少？
答：
2.
质量为 $m$ 的粒子，处在区间 $(0,a)$ 无限深势阱中运动，归一化函数为 $\psi(x)=x(x-a)\sqrt{\frac{30}{a^5}} $。
- 计算粒子处在某个本征态的概率。
- 写出任一时刻的波函数。
解：
- 一维无限深势阱的本征函数和本征值分别为：
\begin{align}
&\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}~,\\
&E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}~,
\end{align}
\begin{equation}
\begin{aligned}
C_n &=\int\psi^{*}_{n}(x)\psi(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=\sqrt{\frac{2}{a}}\int^{a}_{0}\sin{\frac{n\pi}{a}x}\cdot(x-a)x\sqrt{\frac{30}{a^5}} \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{4\sqrt{15}}{n^3\pi^2}[(-1)^n-1]~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
w_n= \left\lvert C_n \right\rvert ^2= \left\{\begin{aligned} \end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sum^{\infty}_{n=1}C_n\cdot\sin{\frac{n\pi}{a}x}\cdot e^{-\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}t}~.
\end{equation}
3.
一个体系的哈密顿量是 $H=\frac{P^2_x+(P_y-qB_x)^2+P^2_z}{2m}$，其中 $P_x$，$P_y$，$P_z$ 分别为三个方向的动量算符，求体系的能级和波函数。
解：
\begin{equation}
\hat{H}=\frac{P^2_x+(P_y-qB_x)^2+P^2_z}{2m}~.
\end{equation}
$ \left\{P_y,P_z,H \right\} $ 相互对易有共同本征函数。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi(x,y,z)&=\psi_{P_y}(y)\psi_{P_z}(z)\psi(x)~,\\
\psi_{P_y}(y)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}P_{y} \cdot y}~,\\
\psi_{P_z}(z)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}P_{z} \cdot z}~.
\end{aligned}
\end{equation}
本征方程 $\hat{H}\psi(x,y,z)=E\psi(x,y,z) $
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{P^2_x+(P_y-qB_x)^2+P^2_z}{2m}\psi(x,y,z)&=E\psi(x,y,z)~,\\
\left[\frac{P^2_x}{2m}+\frac{1}{2}m \left(\frac{qB}{m} \right) ^2\cdot \left(x-\frac{P_y}{qB} \right) ^2 \right] \psi(x)&= \left[E-\frac{P^2_z}{2m} \right] ~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
令 $\omega=\frac{qB}{m}$，$x_0=\frac{P_y}{qB}$，$\epsilon=E-\frac{P^2_z}{2m}$
\begin{equation}
\left[\frac{P^2_x}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2(x-x^2_0) \right] \psi(x)=\epsilon\psi(x) ~,
\end{equation}
$\epsilon=(n+\frac{1}{2}\hbar\omega),n=0,1,2\dots$
\begin{equation}
\psi_n(x-x_0)=N_ne^{-\frac{\alpha^2(x-x_0)^2}{2}}H_n[\alpha(x-x_0)]~,
\end{equation}
所以 $\hat{H}$ 体系能级为 $E=\epsilon+\frac{P^2_z}{2m}=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega ,\quad (n=0,1,2\dots)$。
体系的波函数为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi(x,y,z)&=\frac{1}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{P}_{y}\hat{y}+\hat{P}_{z}\hat{z})}\psi_n(x-x_0)\\
&=\frac{1}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{P}_{y}\hat{y}+\hat{P}_z\hat{z})}\cdot \psi_n(x-\frac{P_y}{qB})\\
&=\frac{1}{2\pi\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}(\hat{P}_y\hat{y}+\hat{P}_z\hat{z})}\cdot\psi_n(x-\frac{P_y}{qB})~.
\end{aligned}
\end{equation}
4.
解：在 $H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 体系下，波函数为 $\psi(x)=N_ne^{-\frac{\alpha^2x^2}{2}}H_n(\alpha x) $，能量为 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega \quad n=1,2,3\dots$。
能量一级近似为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
E^{(1)}_n&=\int \psi^*_n(x)H'\psi_n(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{\lambda}{\alpha^2}\int^{+\infty}_{-\infty}\psi^*_n(x)\cdot x^2\psi_n(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=(n+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{\alpha^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
微扰矩阵元 $H'_{nk}$ 为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
H'_{nk}&=\int\psi^*_n(x)H'\psi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=\lambda\int^{+\infty}_{-\infty}\psi^*_n(x)x^2\psi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{\lambda}{\alpha^2} \left[\frac{\sqrt{k+(k-1)}}{2}\psi^*_n\cdot\psi_{k-2}+\frac{2k+1}{2}\psi^*_n\cdot\psi_k+\frac{\sqrt{(k+1)(k+2)}}{2}\psi^*_n\cdot\psi_{k+2} \right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
只有以下三个矩阵元不为 0
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle \psi^{(0)}_{k-2} \right\rvert \lambda x^2 \left\lvert \psi^{(0)}_k \right\rangle &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\cdot\frac{\sqrt{k(k-1)}}{2}=H'_{k-2,k}~,\\
\left\langle \psi^{(0)}_{k} \right\rvert \lambda x^2 \left\lvert \psi^{(0)}_k \right\rangle &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\cdot\frac{2k(k-1)}{2}=H'_{k,k}~,\\
\left\langle \psi^{(0)}_{k+2} \right\rvert \lambda x^2 \left\lvert \psi^{(0)}_k \right\rangle &=\frac{\lambda}{\alpha^2}\cdot\frac{\sqrt{(k+1)(k+2)}}{2}=H'_{k+2,k}~.
\end{aligned}
\end{equation}
5.
解：
- 由题可得 $\hat{H}=-g\hat{S}_x\cdot\hat{B}_x=-\frac{g\hbar B_x}{2} \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} $
设为波函数 $\psi= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} $，能级 $E=\omega\hbar\lambda$，$\omega=-\frac{gB_x}{2}$。
所以有
\begin{equation}
\omega\hbar \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} =\omega\hbar\lambda \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{vmatrix}-\lambda&1\\1-\lambda\end{vmatrix} =0\quad\Longrightarrow\quad\lambda=\pm1~.
\end{equation}
-