天津大学 2011 年考研量子力学答案

贡献者：叶月2_

1.

根据题意有：
\begin{equation} \begin{aligned} Ax\psi_n(x)&=\frac{A}{\alpha} \left[\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x) \right] \\ &=\frac{A}{\alpha}\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x)+\frac{A}{\alpha}\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)~. \end{aligned} \end{equation}
则归一化系数 $A$ 有：
\begin{equation} \left(\frac{A^2}{{\alpha}^2}\frac{n}{2}+\frac{A^2}{{\alpha}^2}\frac{n+1}{2}=1 \right) \Rightarrow A=\sqrt{\frac{2\alpha^2}{2n+1}}~. \end{equation}

$\hat A=(\hat F+\hat F^\dagger),\hat B=\mathrm i(\hat F-\hat F^\dagger)$
由于 $[\hat L_i,\hat L_j]=\mathcal i\epsilon_{ijk}\hat L_k$，设 $ \left\lvert x \right\rangle $ 为角动量分量算符的本征态，则我们有：
\begin{equation} \left\langle x \right\rvert \hat L_i\hat L_j \left\lvert x \right\rangle - \left\langle x \right\rvert \hat L_j\hat L_i \left\lvert x \right\rangle =\mathcal i\epsilon_{ijk} \left\langle x \right\rvert \hat L_k \left\lvert x \right\rangle ~. \end{equation}
设 $\hat L_i \left\lvert x \right\rangle =\lambda \left\lvert x \right\rangle $，代入上式后可得 $\overline {\hat L_k}=0$。$j$ 与 $k$ 对换后又可得 $\overline {\hat L_j}=0$。因为 $i$ 为任意分量，证毕。
由于 $e^{\mathcal i\alpha \hat {\sigma}_y}=\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathcal i \alpha \hat {\sigma}_y)^{2k}}{(2k)!}+\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathcal i \alpha \hat {\sigma}_y)^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k (\alpha )^{2k}}{(2k)!}+\mathcal i\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k( \alpha )^{2k+1}\hat {\sigma}_y}{(2k+1)!}=\hat A+i\hat {\sigma}_y \hat B$，所以 $\hat A=cos\alpha,\hat B=sin\alpha$。