陕西师范大学 2006 年 考研 量子力学
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1. 填空题(本题 10 道题，每小题 2 分，共 20 分)
- 爱因斯坦提出光量子理论成功解释了光电效应现象，光量子理论的核____________.
- 德布罗意提出了物质波假说。按这个假说，粒子的能量 $E$、动量 $P$ 与波的波长 $\lambda$ 之间的关系为____________.
- 微观粒子的状态用波函数描述。若 $\psi(x,y,z,t)$ 与 $\Phi(x,y,z,t)$ 描写同一状态，数的差别是____________.
- 若微观体系的哈密顿算符 $H$ 不显含时间，则体系的薛定谔方程
$$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 \psi + U(\vec r) \psi~$$
的一般解是 $\psi(\mathbf{\vec r},t)$ =____________.
- 动量算符 $\hat{P} = -i\hbar\nabla$，其本征函数数有两种归一化方式，当本征值取连续谱时，其形式为 ____________.
- 氢原子处于状态 $\psi_{nlm}(r, \theta, \varphi)$ 时，则在半径 $\vec r$ 到 $\vec r + d\vec r$ 的球壳内找到电 $w_{nl}(\vec r) dr =$____________.
- 任意态 $\psi(x) = \sum_n c_n \Phi_n(x)$，其中 $\Phi_n(x)$ 是力学量 $\hat{F}$ 的正交归一的本征函数。归一化，则系数 $c_n$ 应满足 $\sum_n |c_n|^2 =$_______.$[\hat{F}, \hat{G}] $=_______.
- 在非简并态微扰理论中，$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'$ 该微扰理论运用的条件具体表现为_______.
- 在量子力学中，自旋算符常用泡利算符 $\hat\sigma$ 表示，$\hat\sigma$ 满足的对易关系是_______.
2. 简要回答下列为题。本题两道小题，每小题 10 分，共 20 分。
- 量子力学中，力学量为什么要用算符表示?力学量算符与其所表示的力学
么关系?
- 试用测不准原理解释隧道效应。
3. 证明题。本题两道小题，每小题 10 分，共 20 分。
- 若算符 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 对易，则 $\hat{F}$ 和 $\hat{G}$ 有组成完全集的本征函数系。
- 电荷为 $e$ 的线性谐振子受到恒定电场 $\epsilon$ 的作用，电场沿 $x$ 轴正方向。试证无电场时相比，线性谐振子的相应能级降低了 $\frac{e^2 \epsilon^2}{2\mu \omega^2}$，而平衡点右移 $\frac{e^2 \epsilon}{\mu \omega}$。
4. 计算题。共 7 题，1--5 每小题 10 分，6、7 两题每小题 20 分，共 90 分
- 在一维无限深势阱中运动的粒子，阱宽为 $2a$。粒子处于哈密顿算符 $\hat H$ 的本征态。求：距离阱的左内壁距离为 $\frac{1}{2}a$ 处粒子出现的几率是多少？$n$ 越大，在此处粒子出现的几率越大？
- 氢原子处于基态 $\psi_{100} (r, \theta, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{- \frac{r}{a_0}}$，求该态时体系势能 $-\frac{e^2}{r}$ 的平均值与玻尔模型中第一束缚轨道电子的动能比较。
- 设体系处于 $\psi = c_1 y_{11} + c_2 y_{10}$ 态中，其中 $c_1, c_2$ 是展开系数。$Y_{lm}(\theta, \varphi)$ 是数。求：（1）力学量 $\hat L_z$ 的可能值及平均值。（2）力学量 $\hat L^2$ 的本征值。
- 求动量表象中角动量的 $\hat{L}_z$ 的矩阵元。
- 量子体系的哈密顿量在能量表象中为
\[
H =
\begin{pmatrix}
E_1^{(0)} + a & b \\
b & E_2^{(0)} + a
\end{pmatrix}~
\]
其中，$a$, $b$ 为常数。$E_1^{(0)}$, $E_2^{(0)}$ 为体系未受微扰时的能量。求：（1）体系的能量到二级修正。
- 设氢原子的状态是
\[
\psi = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} R_{21}(r)Y_{11}(\theta, \varphi) \\
\frac{\sqrt{3}}{2} R_{21}(r)Y_{10}(\theta, \varphi)
\end{pmatrix}~
\]
(1)求轨道角动量 $\hat{L}_z$ 的平均值和自旋角动量 $Z$ 分量 $\hat{S}_z$ 的平均值。
(2)求总磁矩 $\hat{M} = -\frac{e}{2\mu}\hat{L} - \frac{e}{\mu} \hat{S}$ 的分量的平均值（用玻尔磁子）。
- 一维无限深势阱中有四个电子(阱宽为 $0< x< a$)，假定电子间无相互作
的哈密顿与自旋无关。试求:
(1)基态时体系的波函数和能级。
(2)第一激发态时体系的波函数和能级。