东南大学 2017 年考研量子力学

贡献者：待更新

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1. (15 分)

李萨如轨迹是定常轨迹，无节点或过零。
线形物体必须是刚体。
时间反演对称性违反了物理规律。
自然单位制是一种常用于高能物理的单位制，它能够简化方程。
在经典力学中没有对应的力学量。

2. (共 30 分，每小题 3 分)选样题

$\{x_i, p_j\}$ 的共同本征函数为 (a) $\delta(x-a)\delta(y-b)\quad (b) \delta(x-a)\delta(y-b) \quad (c) \delta(x-a)\delta(p-b) \quad (d) \delta(p-a)\delta(p-b)$
无自旋单粒子在 $xy$ 平面内运动，力学量完全集可选为 (a) $\{p_x, p_y\} \quad (b) \{r_x, r_y\}\quad (c) \{r_x, r_y, p_x, p_y\}\quad (d) \{L_z, p_x, p_y\}$
$A$ 和 $\beta$ 均为线性算符，$[\alpha, \beta]$ 可为 (a) $A\beta + \beta A\quad (b) A\beta\quad (c) \beta A + \beta^2\quad (d) A\beta - \beta A$
设 $\sigma = |\psi\rangle \langle\phi|$，则 $\sigma$ 可为
(a)$|\phi\rangle \langle\psi| \quad (b) -\langle\phi|\psi\rangle \quad (c) \langle\phi|\psi\rangle\quad d) |\psi\rangle \langle\phi|$
设 $S$ 为电子自旋向上态的最小投影数，视为：
(a) $3\hbar/4 \quad (b) 1/4 \quad (c) \hbar/4 \quad (d) 1/2 $
角动量算符的对易式 $[\hat{L}_x, \hat{L}_z]$ 等于：
(a) $i\hbar\hat{L}_z \quad (b) \hat{L}_z \quad (c) 0 \quad (d) i\hbar $
设一粒自由粒子的能级 $ E = 0$，则其能级的简并度为：
(a) $1 \quad (b) 2 \quad (c) 3 \quad (d) 4 $
体系由 2 个全同玻色子组成，每个粒子可处于两个单粒子态中的任何一个，则体系可能的量子态数目为：
(a) $1 \quad (b) 2 \quad (c) 3 \quad (d) 4 $
以下哪一个量子体系存在散射态：
(a) $ \text{一维谐振子；} \quad (b) \text{三维各向同性谐振子；} \quad (c) \text{一维无限深方势井；} \quad (d)\text{一维有限深方势井} $
一下哪种现场必须要用电子自旋的概念才能解释：
(a) $ \text{反常 Zeeman 效应；} \quad (b) \text{正常 Zeeman 效应；} \quad (c) \text{Landau 能级；} \quad (d)\text{AB 效应} $

3. 共 30 分，每小题 3 分)填空题

对于中心力场中的无自旋粒子，能级 $E_{nl}$ 的简并度为 $\underline{\hspace{3cm}}$。
设 $t=0$ 时刻的量子态 $\left|\psi(0)\right\rangle$ 恰好为能量本征态，即 $\hat{H}\left|\psi(0)\right\rangle = E\left|\psi(0)\right\rangle$，则 $t$ 时刻的量子态可表为 $\left|\psi(t)\right\rangle = \underline{\hspace{3cm}}$。
带电粒子在电磁场中的哈密顿算符为 $\hat{H} = \left[(\hat{p} + qB/c)^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2\right]/ 2\mu - q \varepsilon \hat{y}$，除去，并列举两个守恒量：$\underline{\hspace{3cm}}$。
设 $\left| x \right\rangle$ 和 $\left| x' \right\rangle$ 为位置算符 $\hat{x}$ 的本征态，则 $\left\langle x \left| x' \right\rangle\right. = \underline{\hspace{3cm}}$。
设 $\dot{A}$ 为湮灭算符，$\dot{A} |a\rangle = A_a |a\rangle , \quad \dot{A} |n\rangle = A_n |n\rangle , \quad A_a \neq A_n$，则 $\left\langle m \left| n \right\rangle\right. = \underline{\hspace{3cm}}$。
设一维谐振子的摄动频率为 $\omega$，则能量本征值为 $\underline{\hspace{3cm}}$。
设态矢 $\left|\phi\right\rangle = \Lambda\left|\psi\right\rangle$，则 $\left\langle \phi|\right. = \underline{\hspace{3cm}}$。
设球谐函数 $Y_{lm}(\theta, \phi)$ 表示 $\{j^2, j_z\}$ 的共同本征函数为 $\psi = (1/\sqrt{2}) Y_{1,-1}(\theta, \phi) + (1/\sqrt{2})Y_{2,1}(\theta, \phi), \text{则} \hat{l}^2 \text{的平均值为}\underline{\hspace{3cm}}$。
设量子体系某个表象的基矢量为 $|k\rangle, (k = 1, 2, \ldots)$，它具有正交归一性和完备性。若系的任意一个量子态可表示为 $|\psi\rangle = \sum a_k|k\rangle$，则 $a_k$ 满足：$\underline{\hspace{3cm}}$
在一维散射问题中，反射系数为 $r$，透射系数为 $t$，则 $r + t = $

4. (10 分)

　　质量为 $m$ 的粒子处于频率为 $\omega$ 的一维谐振子势中。基态 $|0\rangle$ 满足 $\langle 0| 0\rangle = 0$。其中下降算符 $a = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha x + ip/\hbar a)$, $\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}$。试求坐标表示中的基态波函数 $\psi_0(x) = \langle x| 0\rangle$。

5. (10 分)

　　两个电子的交换算符为 $\hat{P}_{12} = (\hat{\sigma}_1\cdot \hat{\sigma}_2+1)/2$，自旋单态和三重态分别记为 $|00\rangle$ 和 $|11\rangle$，$(M = 0, \pm1)$。试求 $\hat{P}_{12}|00\rangle$, $\hat{P}_{12}|11\rangle$。

6. (10 分)

　　设氢原子在 $t<0$ 时处于基态 $|0\rangle$，且 $\langle 0| \hat{x}^2 | 0\rangle = \sigma^2$。此后受到微扰 $H' = \lambda \dot{x} \delta(t)$ 的作用，在一级近似下，求 $t>0$ 时氢原子仍然保持在基态的几率。提示：量子跃迁几率公式为

　　 $$C_{jk}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t dt' \, H_{jk}(t') \exp\left(i\omega_{jk} t'\right) ~$$

7. (10 分)

　　质量为 $m$ 的电子被限制在面积为 $S=L_x L_y$ 的平面内运动，外加一个 $z$ 方向的均匀磁场 $B$。电子的哈密顿算符为

　　 $$\hat{H} = p_z^2/2m + 1/2m \omega^2\left(\hat{y}-c\hat{p}_x/eB\right)^2, \quad (\omega = eB/mc)~$$ 试求 iindaū 能级及其简并度

8. (10 分)

　　设某微扰体系的某个能级 $E$ 是 4 重简并的。相应的正规归一的能量本征态为 $ \left\lvert i \right\rangle (i=1,2,3,4)$。在这 4 个简并态所张成的子空间中，微扰哈密顿量的非零矩阵元为

　　 $$H_{12} - H_{21} = \lambda,~$$其它矩阵元 $H_{ij}$ 为零,试求能级 $E$ 的一级修正 $\epsilon$。

9. (10 分)

　　考虑某个量子态空间，$F$ 表象的正交归一基失组为 $ \left\lvert k \right\rangle $，$G$ 表象的正交归一基失组为 $ \left\lvert a \right\rangle $。这两个表象之间的变换矩阵元定义为 $S_{lk} = \langle a | k \rangle$。证明变换矩阵 $S$ 为幺正矩阵，即 $S^\dagger S = S S^\dagger = I$（单位矩阵）。

东南大学 2017 年 考研 量子力学