东南大学 2015 年考研量子力学

贡献者：待更新

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　　 1.以下对称性是否导致一个守恒量，如果是，请指出相应的守恒量(1)空间反演对称性:(2)空间平移对称性;(3)空间转动对称性;(4)时间反演对称性;(5)时间平移对称性.

　　 2.判断题

一维线性谐振子的是子态空间是无穷维的
全同 bose 子系统的波函数具有交换反对称性
Hermie 算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 不对易, 则 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 一定无共同本征态
三维各向同性谐振子的所有能级均是简并的.
中心力场无自旋的角动量一定是守恒量

　　 3.证明 Bloch 函数 $ψ_{k} (r) = \exp (i k \cdot r) ϕ_{k} (r), ϕ_{k} (r) = ϕ_{k} (r + a),$ 是平移算符 $\hat{D} (a) = \exp (- i a \cdot \hat{p} / ℏ)$ 的本征态。相应的本征值为 $\exp (- i k \cdot a)$ 。

　　 4.一质量为 $m$ 带电量为 $q$ 的粒子在均匀电场 $E = (0, ϵ, 0)$ 和均匀磁场 $B = (0, 0, B)$ 中运动，磁场的矢量势选为 $A = (- B y, 0, 0)$ 。

写出粒子的哈密顿算符 $\hat{H}$ ，并证明动量 ${\hat{p}}_{x}$ 和 ${\hat{p}}_{z}$ 为守恒量。
求守恒量完全集 ${\hat{H}, {\hat{p}}_{x}, {\hat{p}}_{z}}$ 的共同本征函数及相应的本征值。

　　 5.设 $\hat{σ}$ 为泡利算符， ${\hat{σ}}_{z}$ 的归一化本征态为 $| + ⟩,$ 即 ${\hat{σ}}_{z} | \pm ⟩ = \pm | \pm ⟩$ 。

利用 ${\hat{σ}}_{z} {\hat{σ}}_{x} = - {\hat{σ}}_{x} {\hat{σ}}_{z} = i {\hat{σ}}_{y}$ 和 ${\hat{σ}}_{x}^{2} = 1$ 证明： ${\hat{σ}}_{x} | + ⟩ = e^{i α} | - ⟩$ ，( $α^{*} = α$ );
取 $α = 0$ ，求 ${\hat{σ}}_{x} | - ⟩$ , ${\hat{σ}}_{y} | + ⟩$ 。

　　 6.一维线性谐振子振动频率为 $ω$ ，初态 $ψ (x, 0) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} φ_{n} (x)$ ，其中 $φ_{n} (x)$ 为能量本征函数。已知 $\sum_{n = 0}^{\infty} | a_{n} |^{2} = 1$ 。

求 $ψ (x, t)$ 。
证明 $ψ (x, t) = ψ (x, 0)$ 。

　　 7.质量为 $m$ 的粒子受到势 $V (\vec{r})$ 的作用，其中 $V (\vec{r}) = V (- \vec{r})$ 已知 $ψ (\vec{r})$ 是本征值 $E$ 所对应的一个能量本征函数。证明：

$ψ (\vec{r})$ 也是 $E$ 对应的本征函数，能保证 $E$ 一定是简并态吗？
找出一个能级 $E$ 对应的本征函数 $ϕ (\vec{r})$ 要求有确定守称。

　　 8.设体系的未微扰哈密顿量 $H_{0}$ 和微扰哈密顿量 $H^{'}$ 分别为 $H_{0} = (\begin{matrix} E_{1}^{(0)} & 0 \\ 0 & E_{2}^{(0)} \end{matrix}), (E_{1}^{(0)} \neq E_{2}^{(0)}), H^{'} = (\begin{matrix} a & b \\ b^{*} & a \end{matrix}) .$

　　试用微扰论求能级的修正（准确到二级近似）。
提示：非简并微扰论的能级修正公式为 $E_{k} = E_{k}^{(0)} + ⟨ k | H^{'} | k ⟩ + \sum_{n \neq k} \frac{⟨ k | H^{'} | n ⟩ ⟨ n | H^{'} | k ⟩}{E_{k}^{(0)} - E_{n}^{(0)}} .$

东南大学 2015 年 考研 量子力学

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