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1.(15 分)以下叙述是否正确：
(1) 若厄密算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 对易，则它们必有共同本征态；
(2) 仅当体系处在定态时，守恒量的平均值才不随时间变化；
(3) 一维谐振子的能量本征态既有束缚态，也有散射态；
(4) 厄密算符的本征值必为正数；
(5) 空间平移对称性导致动量守恒。
2.(15 分)质量为 $m$ 的粒子处于 $\delta$ 势阱中，$V(x) = -\gamma \delta(x)$, $(\gamma > 0)$。
(1) 试根据 Schrödinger 方程证明 $x=0$ 处波函数的跃变条件为 $$\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = -\left(2m\gamma/\hbar^2\right)\psi(0);~$$
(2) 试求束缚态能级和相应的归一化能量本征函数。
3.(15 分)一质量为 $m$ 的粒子以能量 $E$ 从左往右入射，受到以下势场的散射 $$V(x) =\begin{cases} V_0, & (x < 0) \\\\0, & (x > 0) \end{cases}\quad (V_0 > 0)~$$
在以下两种情况下计算反射系数和透射系数： (1) $E > V_0$； (2) $0 < E < V_0$。
提示：一维几率流密度公式为 $$j(x) = \left(\hbar/i2m\right)\left(\psi^* \partial \psi/\partial x - \psi \partial \psi^*/\partial x\right)~$$
4.(15 分)试证 Bloch 函数 $$\psi_k(r) = \exp\left(ik \cdot r\right) \phi_k(r), \quad \phi_k(r) = \phi_k(r + a),~$$ 是平移算符 $\hat{D}(a) = \exp\left(-ia \cdot \hat{p}/\hbar\right)$ 的本征态，相应的本征值为 $\exp\left(-ik \cdot a\right)$。
5.(15 分)设体系的 2 个粒子可处于 3 个单粒子态 $\phi_i(q), \phi_j(q), \phi_k(q)$。在以下三种情况下求体系可能的量子态数目： (1) 不同粒子； (2) 全同 Bose 粒子； (3) 全同 Fermi 粒子。
6.(15 分)一质量为 $m$ 带电量为 $q$ 的粒子在均匀电场 $E = (0, \epsilon, 0)$ 和均匀磁场 $B = (0, 0, B)$ 中运动，磁场的矢量势选为 $A = (-By, 0, 0)$。
(1) 写出粒子的哈密顿算符 $\hat{H}$，并证明动量 $\hat{p}_x$ 和 $\hat{p}_z$ 均为守恒量；
(2) 求守恒量完全集 $(\hat{H}, \hat{p}_x, \hat{p}_z)$ 的共同本征函数及相应的本征值。
7.(15 分)两个电子的总角动量为 $\hat{S} = \hat{s}_1 + \hat{s}_2$，令 $\hat{P}_{12} = (1 + \hat{\sigma}_1 \cdot \hat{\sigma}_2)/2$，试求：
(1) $\hat{P}_{12}^2$;
(2) $\hat{P}_{12}^2 - \hat{S}^2/\hbar^2$;
(3) $\hat{P}_{12} \left\lvert SM \right\rangle $，其中 $ \left\lvert SM \right\rangle $ 为 $\hat{S}^2$ 和 $\hat{S}_z$ 的共同本征态。
8.(15 分)某一维简单晶格的原子总数为 $N$，相邻原子间距离为 $a$，在简谐近似下的哈密顿算符可表为 $$\hat{H} = \sum_k \left(\hat a_k^\dagger \hat a_k + \frac{1}{2}\right)\hbar \overline{\omega}_k~$$ 其中 $\hat a_k$ 为声子的消灭算符，$[\hat a_k, \hat a_k^\dagger] = \delta_{kk'}$。已知声子的色散关系为 $$\overline{\omega}_k = \overline{\omega}_0 | \sin\left(ka/2\right) |, \quad (-\pi/a \leq k < \pi/a)~$$ 试求： (1) 体系的基态能 $E_0$; (2) 声子的态密度 $g(\omega)$。
9.(15 分)设一维谐振子的能量本征态为 $ \left\lvert n \right\rangle , (n = 0, 1, 2, \dots)$，微扰哈密顿算符为 $\hat{H}' = -k\hat{x}$。试用微扰论求能级的修正（准确到二级近似）。提示：非简并微扰论的能级修正公式为： $$\hat{E}_k = E_k^{(0)} + \langle k|\hat{H}'|k\rangle + \sum_{m\neq k} \frac{\langle k|\hat{H}'|m\rangle \langle m|\hat{H}'|k\rangle}{E_k^{(0)} - E_m^{(0)}}~$$ $$\langle n'|\hat{x}|n \rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \left( \sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{n',n+1} + \sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{n',n-1} \right)~$$
10.(15 分)一量子体系哈密顿算符为 $\hat{H}_0$，$\hat{H}_0 \left\lvert n \right\rangle = E_n \left\lvert n \right\rangle $，$\langle n'|n\rangle = \delta_{nn'}$。
$$\sum_n |n\rangle \langle n| = 1, t = 0~$$ 时刻体系处于 $|k\rangle$ 态，受到以下微扰作用
$$\hat{H}'(t) = \begin{cases} 0, & (t < 0) \\\\\hat{H}', & (t > 0) \end{cases}~$$
试在一级近似下求 $t \rightarrow \infty$ 时的跃迁速率 $\omega_{k'k}$。
提示：量子跃迁几率公式 $$P_{kk'}(t) = \frac{1}{\hbar^2} \left| \int_0^t dt' H_{k'k} e^{i \omega_{k'k} t'} \right|^2,\omega_{k'k} = (E_{k'} - E_k)/\hbar ~$$
$$\frac{\sin^2 \alpha x}{x^2} \rightarrow \pi \alpha \delta(x), \quad (\alpha \rightarrow \infty),~$$