东南大学 2008 年 考研 量子力学

                     

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　　 1.（15 分）量子体系守恒量完全集 $\{H, A, \dots\}$ 的归一化共同本征态为 $|n\rangle$，($n=1, 2, \dots$)，即 $H|n\rangle = E_n|n\rangle$，$A|n\rangle = A_n|n\rangle$，……

  1. (1) 用 $|n\rangle$ 分别写出正交归一性和完备性的表达式；
  2. (2) 设 $t=0$ 时刻的归一化量子态为 $|\psi(0)\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$，试求 $|\psi(t)\rangle$；
  3. (3) 求 $t$ 时刻的平均值 $E(t)$ 和 $A(t)$。

　　 2.（15 分）质量为 $m$ 的粒子作一维运动，处于势阱 $V(x) = -\gamma \delta(x)$ ,( $\gamma > 0$ )。求束缚态的归一化波函数和束缚态能级。

　　 3.（15 分）设质量为 $m$ 的粒子以能量 $E > 0$ 从左入射，碰到下列势阱，求反射系数和透射系数。提示：几率流密度为 $j(x) =(\hbar/i2m)(\psi^*\psi' - \psi^{*'}\psi)$。 $$V(x) = \begin{cases} -V_0, & x < 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}~$$

　　 4.（15 分） 设粒子处在 $\hat L^2,\hat L_z$ 的共同本征态 $|lrm\rangle$。

  1. (1) 利用角动量的对易关系证明 $L_x = L_y = 0$。
  2. (2) 求 $\overline{(\Delta L_z)^2}$ 与 $\overline{(\Delta L_y)^2}$，其中 $\Delta L_z = \hat L_z -\hat L_z $, $\Delta L_y = \hat L_y -\hat L_y$。

　　 5.(15 分)以下对称性是否导致一个守恒量，如果是，请指出相应的守量
(1)空间反演对称性: (2)空间平移对称性; (3)空间转动对称性:(4)时间反演对称性:(5)时间平移对称性。

　　 6.(15)设缺金属原子的价电子处于中心力场 $V(r)$ 中，守恒量完全集 $\{\hat H, \hat{l}^2, l_z\}$ 的共同本征函数数为 $\psi_{nlm}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta, \phi)$，能量本征值为 $E_{nl}$。

  1. 若外加强磁场 $B$，求能量本征值。提示：价电子的朗德因子为 $$H = \frac{\hat p^2}{2\mu} + V(r) + \omega_L \hat l_z, \quad (\omega_L = \frac{eB}{2\mu c})~$$
  2. 求有磁场 $B$ 时，原子从 $p$ 态（$l = 1$）跃迁到 $s$ 态（$l = 0$）的光谱线频率（跃迁过程保持 $n_e$ 不变）。

　　 7.(15 分)设体系由 2 个全同粒子组成，每个粒子可处于 3 个单粒子态 $|i\rangle, |j\rangle, |k\rangle$ 中的任何一个，分别在以下两种情况下写出体系可能的量子态：

  1. 全同 Bose 子；
  2. 全同 Fermi 子。

　　 8.(15 分)设电子自旋角动量算符为 $\hat{S} = (\hbar/2) \hat{\mathbf{\sigma}}$。$\hat{\sigma}_z$ 的正交归一本征态为 $|\pm\rangle$，即 $\hat{\sigma}_z|\pm\rangle = \pm|\pm\rangle$。求 $\hat{\sigma}_x|\pm\rangle, \hat{\sigma}_y|\pm\rangle, $。

　　 9.(15 分)设体系的未微扰哈密顿量 $H_0$ 和微扰哈密顿量 $H'$ 分别为

\begin{equation} H_0 = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & 0 \\\\ 0 & E_2^{(0)} \end{pmatrix}, \quad (E_1^{(0)} \neq E_2^{(0)}), \quad H' = \begin{pmatrix} a & b \\\\ b^* & a \end{pmatrix}~ \end{equation}
试用微扰论求能级的修正（准确到二级近似）。
提示：非简并微扰论的能级修正公式为
\begin{equation} E_k = E_k^{(0)} + \langle k | \hat H' | k \rangle + \sum_{n \neq k} \frac{\langle k | \hat H' | n \rangle \langle n |\hat H' | k \rangle}{E_k^{(0)} - E_n^{(0)}}~ \end{equation}

　　 10.(15 分)一质量为 $m$，空间位置固定的电子处于沿 $x$ 方向的均分磁场 $ B$ 方向 中，其哈密顿算符（不计轨道运动）为 $\hat{H} = \frac{eB}{mc} \hat{S}_z $，其中 $\hat{S}_z$ 为电子自旋角动量算符。已知 $t = 0$ 时电子的自旋态为 $S_z$ 的本征态，相应的本征值为 $\hbar/2$，试求：

  1. t (> 0) 时刻该电子的自旋态；
  2. t (> 0) 时刻 $\hat{S}$ 的平均值。

　　 提示：泡利矩阵为

　　 $$\sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\1 & 0\end{pmatrix}, \quad\sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i \\\\i & 0\end{pmatrix}, \quad\sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & -1\end{pmatrix}~$$

                     

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