实数的表示

贡献者： DTSIo; Giacomo

预备知识　完备公理（戴德金分割）

　　我们最熟悉的实数表示方式是十进制小数或者二进制数。在这里，我们可以借助实数公理而给予这些表示以严格的逻辑基础。特别地，这能够解释一个古老的问题： $0. \dot{9}$ 到底等不等于 $1$ ?

　　我们固定一个正整数 $q > 1$ 作为进位制的基底。取 $q = 2$ 或 $q = 10$ 当然是最熟知的。

　　我们从如下非常简单的命题开始。

引理 1　

　　设实数 $x > 0$ . 则有唯一一个整数 $n \in Z$ 和唯一一个 $a \in {1, 2, . . ., q - 1}$ , 使得 $a q^{n} \leq x < (a + 1) q^{n}$ .

　　实际上，整个正实数轴被划分成彼此不相交的区间 $[a q^{n}, (a + 1) q^{n})$ ; 这里 $n$ 跑遍所有整数， $a$ 跑遍 $1, 2, . . ., q - 1$ . 因此正实数 $x$ 只能属于所有这些区间之中的一个。

　　将对应于 $x$ 的这两个整数记为 $n_{1}$ 和 $a_{1}$ . 则 $x - a_{1} q^{n_{1}}$ 是非负实数。如果它等于零，那么无需续行，否则可以对它继续应用上述命题，而得到 $n_{2} \in Z$ 和 $a_{2} \in {1, 2, . . ., q - 1}$ , 使得 $a_{2} q^{n_{2}} \leq x - a_{1} q^{n_{1}} < (a_{2} + 1) q^{n_{2}}$ . 由此不等式立刻可得 $q^{n_{2}} \leq a_{2} q^{n_{2}} \leq x - a_{1} q^{n_{1}} < q^{n_{1}},$ 从而 $n_{2} < n_{1}$ . 如果 $x - a_{1} q^{n_{1}} - a_{2} q^{n_{2}}$ 等于零，则无需续行，否则可以再次重复上面的过程。这样就得到了一个取值于 ${1, 2, . . ., q - 1}$ 的整数序列 $a_{1}, a_{2}, . . .$ , 以及一列递降的整数 $n_{1} > n_{2} > . . .$ , 使得 $0 \leq x - a_{1} q^{n_{1}} - a_{2} q^{n_{2}} - . . . - a_{k} q^{n_{k}} < q^{n_{k}} .$ 递降的整数序列序列 $n_{1} > n_{2} > . . .$ 或者在某处终止（这意味着上面的操作在某一步因差值为零而停止，由此 $x$ 在 $q$ 进制下的表达式是有限的）, 或者只能递降到负无穷。因此当 $k \to \infty$ 时，序列 $a_{1} q^{n_{1}} + a_{2} q^{n_{2}} + . . . + a_{k} q^{n_{k}}$ 越来越逼近实数 $x$ . 于是可以写下如下的形式等式：

\begin{matrix} (1) & x = a_{1} q^{n_{1}} + a_{2} q^{n_{2}} + . . . + a_{k} q^{n_{k}} + . . . \end{matrix}

　　它的严格含义是，右端和式的前面有限项组成的序列的极限是 $x$ .