Rayleigh-Ritz 方法
贡献者： addis
Rayleigh-Ritz 方法是一种近似计算本征值问题的方法。若要求 $N\times N$ 厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征值和本征矢，先把算符投影到由 $n < N$ 个正交归一基底 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 张成的子空间中。若把每个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $，那么子空间的投影矩阵就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{V}} ~.
\end{equation}
也就是说，每个矩阵元为
\begin{equation}
B_{i,j} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j~,
\end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的本征方程分别为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{y}} _i = \tilde\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{y}} _i~.
\end{equation}
令 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i = V \boldsymbol{\mathbf{y}} _i$。于是 $(\tilde\lambda_i, \tilde{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i)$ 就是近似本征值和本征矢，叫做 Ritz pair。
只有当 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \right\} $ 恰好张成 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的某几个本征矢的子空间时，才会得到精确解。
瑞利商（Rayleigh quation）:
\begin{equation}
\rho( \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} }~.
\end{equation}
这相当于量子力学中的平均值，而当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 时，瑞利商就是本征值。容易证明，任何 $\rho(\tilde { \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i)$ 都大于最小的本征值。