量子气体（单能级巨正则系综法）

贡献者：待更新

预备知识　量子气体（巨正则系宗）

本文处于草稿阶段。

　　我们继续讨论近独立子系，并期待利用巨正则系综的方法给出量子气体的玻色分布和费米分布的结果。

　　我们可以把一个包含许多粒子的系统看做热池，把每个能级 $ε_{i}$ 看做一个系统。为了便于理解，可以把能级想象成一个盒子，所有处于该能级的粒子都在盒内，都具有能量 $ε_{i}$ 。当 $ε_{i}$ 系统中粒子数为 $n_{i}$ 时，系统的总能量为 $E = n_{i} ε_{i}$ 。注意对于一个 $n_{i}$ ，由于同种粒子不可区分，系统只有一种状态，所以在当前系统的巨配分函数中，对能量的求和只有一项。

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Ξ & = \sum_{n_{i}} \sum_{E_{j}}^{} e^{(n_{i} μ - E_{j}) β} = \sum_{n_{i}} e^{(n_{i} μ - E) β} \\ = \sum_{n_{i}} e^{(n_{i} μ - n_{i} ε_{i}) β} = \sum_{n_{i}} {[e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{n_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

系统（

ε_{i}

能级）中的平均粒子数为

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ n_{i} ⟩ & = \frac{1}{Ξ} \sum_{n_{i}} \sum_{E_{j}} n_{i} e^{(n_{i} μ - E_{j}) β} \\ = \frac{1}{Ξ} \sum_{n_{i}} n_{i} {[e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{n_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

1. 费米子

　　由于泡利不相容原理，一个能级只能存在 $0$ 或 $1$ 个费米子（这里忽略自旋）。

\begin{matrix} (3) & Ξ = \sum_{n_{i} = 0}^{1} {[e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{n_{i}} = 1 + e^{(μ - ε_{i}) β} . \end{matrix}

ε_{i}

能级的平均粒子数为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} ⟨ n_{i} ⟩ & = \frac{1}{Ξ} \sum_{n_{i} = 0}^{1} n_{i} {[e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{n_{i}} = \frac{0 + e^{(μ - ε_{i}) β}}{1 + e^{(μ - ε_{i}) β}} = \frac{1}{e^{(ε_{i} - μ) β} + 1} \end{aligned} . \end{matrix}

这就是著名的费米—狄拉克分布。

2. 玻色子

　　任何能级都允许同时存在任意数量的玻色子，所以上面两式中对 $n_{i}$ 的求和上限变为正无穷即可（见等比数列求和以及类等比数列求和）。但为了使求和收敛，必须要求 $e^{(ε_{i} - μ) β} - 1 > 0$ ，或者 $μ < ε_{i}$ 。

\begin{matrix} (5) & Ξ = \sum_{n_{i} = 0}^{\infty} {[e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{n_{i}} = \frac{1}{1 - e^{(μ - ε_{i}) β}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} ⟨ n_{i} ⟩ & = \frac{1}{Ξ} \sum_{n_{i} = 0}^{1} n_{i} {[e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{n_{i}} = [1 - e^{(μ - ε_{i}) β}] \frac{e^{(μ - ε_{i}) β}}{{[1 - e^{(μ - ε_{i}) β}]}^{2}} = \frac{1}{e^{(ε_{i} - μ) β} - 1} \end{aligned} . \end{matrix}

这就是著名的玻色—爱因斯坦分布。

　　当每个能级的平均粒子数 $⟨ n_{i} ⟩$ 都很小时，即 $⟨ n_{i} ⟩ ≪ 1$ 时， $⟨ n_{i} ⟩ = 1 / (e^{(ε_{i} - μ) β} \pm 1)$ 的分母 $≫ 1$ ，分布可以近似为

\begin{matrix} (7) & ⟨ n_{i} ⟩ = \frac{1}{e^{(ε_{i} - μ) β}} = e^{(μ - ε_{i}) β} . \end{matrix}

这就是麦克斯韦—玻尔兹曼分布，对应理想气体。由此可见，当

　　该分布的总粒子数为

\begin{matrix} (8) & N = \sum_{i}^{\infty} ⟨ n_{i} ⟩ = e^{μ β} \sum_{i}^{\infty} e^{- ε_{i} β} = z Q_{1} . \end{matrix}

为了验证该式的正确性，代入理想气体的化学势和单粒子配分函数，上式成立。

\begin{matrix} (9) & μ = k T \ln \frac{N λ^{3}}{V}, Q_{1} = \frac{V}{λ^{3}} . \end{matrix}

这种方法虽然可以简单地求出分布函数，但却不能求出其他物理量，例如量子气体的压强，熵，等。因为我们的系统只包含一个能级，而不是大量粒子。要使用标准的巨正则系综，必须把包含大量粒子的量子气体作为系统，并考虑每个粒子数对应的所有可能的能级分布。