多项式定理
贡献者： addis
我们来吧二项式定理拓展到多项式的情况，即
\begin{equation}
\left(\sum_{i = 0}^m a_i \right) ^N = N! \sum_{\{n_i\}}^* \prod_{i = 1}^m \frac{a_i^{n_i}}{n_i!}~.
\end{equation}
1. 证明
首先把指数写成相乘的形式（注意哑标需要各不相同，否则下面会出错）
\begin{equation}
\left(\sum_i^m a_i \right) ^N = \left(\sum_{i_1}^m a_{i_1} \right) \left(\sum_{i_2}^m a_{i_2} \right) \dots \left(\sum_{i_N}^m a_{i_N} \right) = \sum_{i_1}^m \sum_{i_2}^m\dots \sum_{i_N}^m a_{i_1} a_{i_2}\dots a_{i_N}~.
\end{equation}
虽然现在已经拆了括号，但我们希望能像二项式定理一样写成合并同类项后的形式。在上式中，若 $a_{i_1} a_{i_2}\dots a_{i_N}$（$N$ 个一次项）中出现了 $n_1$ 个 $a_1$，$n_2$ 个 $a_2$……$n_m$ 个 $a_m$，则同类项可以记为 $a_1^{n_1} a_2^{n_2} \dots a_m^{n_m}$，或用求积符号记为
\begin{equation}
\prod_{i=1}^m a_i^{n_i}~.
\end{equation}
由于一共有 $N$ 项，必须满足
\begin{equation}
\sum_{i=1}^m n_i = N~,
\end{equation}
用符号 $\{n_i\}$ 表示有序数列 $\{n_1,n_2,\dots, n_m\}$ 的集合。