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在数学中，庞特里亚金类，以列夫·庞特里亚金的名字命名，是实向量丛的一类特征类。庞特里亚金类所在的上同调群的次数总是 4 的倍数。
给定定义在流形 $M$ 上的一个实向量丛 $E$，它的第 $k$ 阶庞特里亚金类 $p_k(E)$ 定义为： $$ p_k(E) = p_k(E, \mathbb{Z}) = (-1)^k \, c_{2k}(E \otimes \mathbb{C}) \;\; \in \;\; H^{4k}(M, \mathbb{Z})~ $$ 其中：
有理庞特里亚金类 $p_k(E, \mathbb{Q})$ 则定义为 $p_k(E)$ 在 $H^{4k}(M, \mathbb{Q})$（即流形 $M$ 的次数为 $4k$ 的有理系数上同调群）中的像。
总庞特里亚金类，实向量丛 $E$ 的总庞特里亚金类定义为： $$ p(E) = 1 + p_1(E) + p_2(E) + \cdots \;\;\in\;\; H^*(M, \mathbb{Z}),~ $$ 其中 $H^*(M, \mathbb{Z})$ 表示流形 $M$ 的整系数上同调环。
该类在模去 2 阶挠元后，对向量丛的 Whitney 和（Whitney sum）是乘法的，即： $$ 2p(E \oplus F) = 2p(E) \smile p(F),~ $$ 其中 $\smile$ 表示上同调中的杯积，$E$ 和 $F$ 是定义在同一流形 $M$ 上的两个向量丛。
分量形式下的性质，对各阶庞特里亚金类 $p_k$ 而言，有：
一阶： $$ 2p_1(E \oplus F) = 2p_1(E) + 2p_1(F),~ $$ 二阶：
$$ 2p_2(E \oplus F) = 2p_2(E) + 2p_1(E) \smile p_1(F) + 2p_2(F),~ $$ 以此类推。
消失条件并不意味着平凡性，庞特里亚金类和 Stiefel–Whitney 类同时消失，并不意味着该向量丛是平凡丛。例如，在 9 维球面 $S^9$ 上，存在一个唯一的、秩为 10 的非平凡向量丛 $E_{10}$（在向量丛同构意义下）。其黏合函数来自同伦群： $\pi_8(O(10)) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.在这个例子中：所有庞特里亚金类都消失，因为 $S^9$ 在次数 9 上不存在对应的上同调群。所有 Stiefel–Whitney 类也都消失，特别是第九阶 Stiefel–Whitney 类 $w_9$ 由 Wu 公式：$w_9 = w_1 w_8 + Sq^1(w_8)$ 可知为零。此外，这个向量丛是稳定非平凡的：即使把 $E_{10}$ 与任意秩的平凡丛做 Whitney 和，结果依然是非平凡的【Hatcher 2009, p.76】。
对于一个 $2k$ 维向量丛 $E$，有如下关系： $$ p_k(E) = e(E) \smile e(E),~ $$ 其中：$e(E)$ 表示向量丛 $E$ 的欧拉类；$\smile$ 表示上同调类的杯积。
大约在 1948 年，陈省身与安德烈·韦伊证明，有理庞特里亚金类： $$ p_k(E, \mathbb{Q}) \;\in\; H^{4k}(M, \mathbb{Q})~ $$ 可以表示为依赖于向量丛曲率形式的多项式微分形式。这一结果，即陈–韦伊理论，揭示了代数拓扑与整体微分几何之间的重要联系。
对于定义在 $n$ 维可微流形 $M$ 上、配备了联络的向量丛 $E$，其总庞特里亚金类可以表示为： $$ p = \left[ 1 -\frac{{\rm Tr}(\Omega^2)}{8\pi^2} +\frac{{\rm Tr}(\Omega^2)^2 - 2{\rm Tr}(\Omega^4)}{128\pi^4} -\frac{{\rm Tr}(\Omega^2)^3 - 6{\rm Tr}(\Omega^2){\rm Tr}(\Omega^4) + 8{\rm Tr}(\Omega^6)}{3072\pi^6} +\cdots \right] \;\in\; H_{dR}^*(M),~ $$ 其中：$\Omega$ 表示该向量丛的曲率形式；$H_{dR}^*(M)$ 表示流形 $M$ 的 de Rham 上同调群。
一个光滑流形的庞特里亚金类被定义为其切丛的庞特里亚金类。
1966 年，诺维科夫证明：若两个紧致、定向的光滑流形是同胚的，那么它们在 $H^{4k}(M, \mathbf{Q})$ 中的有理庞特里亚金类 $p_k(M, \mathbf{Q})$ 是相同的。此外，如果流形的维数至少为 5，那么在给定同伦类型和庞特里亚金类的情况下，至多只有有限多个不同的光滑流形符合这一条件 \(^\text{[1]}\)。
复向量丛 $\pi: E \to X$ 的庞特里亚金类可以完全由其陈类决定。这是因为有以下事实： 向量丛的实复化满足：$E \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \;\cong\; E \oplus \bar{E}$，其中 $\bar{E}$ 是 $E$ 的复共轭丛。Whitney 和公式以及复共轭丛陈类的性质：$c_i(\bar{E}) = (-1)^i \, c_i(E)$，$c(E \oplus \bar{E}) = c(E) \cdot c(\bar{E})$.基于这些关系，可以得到公式： $$ 1 - p_1(E) + p_2(E) - \cdots + (-1)^n p_n(E) = (1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)) \cdot (1 - c_1(E) + c_2(E) - \cdots + (-1)^n c_n(E)).~ $$ 在曲线上的复向量丛,对曲线来说，公式化简为： $$ (1 - c_1(E))(1 + c_1(E)) = 1 + c_1(E)^2.~ $$ 因此，在曲线上的所有复向量丛，其庞特里亚金类都是平凡的。一般情况下的展开,观察乘积的前两项： $$ (1 - c_1(E) + c_2(E) + \ldots + (-1)^n c_n(E)) \cdot (1 + c_1(E) + c_2(E) + \ldots + c_n(E)) = 1 - c_1(E)^2 + 2c_2(E) + \ldots~ $$ 可以得到：$p_1(E) = c_1(E)^2 - 2c_2(E)$.对于线丛，由于维度原因有：$c_2(L) = 0$ 因此公式进一步简化。
回顾一下，一个在 $\mathbb{CP}^3$（复射影三维空间）中消零集合为光滑子簇的四次多项式，所定义的就是一个 K3 曲面。
利用如下的法丛正合列： $$ 0 \;\longrightarrow\; \mathcal{T}_X \;\longrightarrow\; \mathcal{T}_{\mathbb{CP}^3}|_X \;\longrightarrow\; \mathcal{O}(4) \;\longrightarrow\; 0~ $$ 我们可以得到： $$ \begin{aligned} c(\mathcal{T}_X) &= \frac{c(\mathcal{T}_{\mathbb{CP}^3}|_X)}{c(\mathcal{O}(4))} \\[6pt] &= \frac{(1 + [H])^4}{(1 + 4[H])} \\[6pt] &= (1 + 4[H] + 6[H]^2) \cdot (1 - 4[H] + 16[H]^2) \\[6pt] &= 1 + 6[H]^2. \end{aligned}~ $$ 由此可知：
第一陈类：$c_1(X) = 0$,第二陈类：$c_2(X) = 6[H]^2$.由于根据 Bézout 引理，$[H]^2$ 对应于四个点，因此第二陈数为：$c_2 = 24$.在这种情况下，由于公式：$p_1(X) = -2c_2(X)$
我们得到：$p_1(X) = -48$.这个数值可以进一步用于计算球面的第三稳定同伦群 \(^\text{[3]}\)。
庞特里亚金数是一类光滑流形的拓扑不变量。对于流形 $M$，如果其维数不是 4 的倍数，则所有庞特里亚金数都为零。定义:
给定一个光滑的 $4n$ 维流形 $M$ 和一组自然数：
$k_1, k_2, \ldots, k_m$ 满足：$k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n$,
则庞特里亚金数 $P_{k_1, k_2, \ldots, k_m}$ 定义为： $$ P_{k_1, k_2, \ldots, k_m} = p_{k_1} \smile p_{k_2} \smile \cdots \smile p_{k_m}([M]),~ $$ 其中：$p_k$：表示流形 $M$ 的第 $k$ 个庞特里亚金类；$[M]$：表示流形 $M$ 的基本类。
对于具有四元数结构的向量丛，还存在四元数庞特里亚金类。