导体的静电平衡
贡献者： addis
在一类问题中，我们知道各个导体中带有的净电荷或者电势，却不知道具体的分布情况，应该如何求解电荷分布呢？
1. 泊松方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \rho/\epsilon_0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla V~,
\end{equation}
代入得
泊松方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 V = -\rho/\epsilon_0~.
\end{equation}
由于导体是等势体，而导体外部的空间没有净电荷，所以这相当于对导体外部空间求解边界值为常数的拉普拉斯方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 V = 0~.
\end{equation}
若已知导体的电势，那么边界条件已知。若已知导体中的净电荷，由于净电荷只集中于物体表面，所以在表面处有
\begin{equation}
- \frac{\partial V}{\partial n} = E = \sigma/\epsilon_0~,
\end{equation}
再进行积分即可得出金属的净电荷。如果只有一块金属，可以先假设金属的 $V$ 为任意常数，解出以后再乘以一个常数使净电荷符合条件即可。
未完成：例题：金属契子
未完成：数值解泊松方程：relaxation method