线性相关与线性组合

定义 1　线性相关

　　 对于一组向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$，若存在不全为 0 的$k_1,k_2,...$，使 $k_1{\mathit{\alpha }}_1+k_2{\mathit{\alpha }}_2+k_3{\mathit{\alpha }}_3+...=0$，即称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$ 线性相关。

　　 反之，若只当$k_1=k_2=...=0$ 时，$k_1{\mathit{\alpha }}_1+k_2{\mathit{\alpha }}_2+k_3{\mathit{\alpha }}_3+...=0$，则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$ 线性无关。

定义 2　线性组合、线性表出

　　 对于一组向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$ 与一个向量 $\beta$，若存在 $k_1,k_2,...$，使 $k_1{\mathit{\alpha }}_1+k_2{\mathit{\alpha }}_2+k_3{\mathit{\alpha }}_3+...=\beta$，则称 $\beta$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$ 的线性组合。

定理 1　

　　 若 $\beta$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$ 的线性组合，则 $\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...$ 必线性相关。

定理 2　

　　 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_n$ 线性相关，则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_n,{\alpha }_{n+1},{\alpha }_{n+2},...$ 必线性相关。

定理 3　

　　 m 个 n 阶向量（m>n）必线性相关。