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在微分几何中，拉普拉斯–贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）是对拉普拉斯算子（Laplace operator）的一种推广，它作用于定义在欧几里得空间子流形上的函数，更一般地，也可定义在黎曼流形（Riemannian manifold）及伪黎曼流形（pseudo-Riemannian manifold）上。该算子以皮埃尔–西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）与欧金尼奥·贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）的名字命名。
对于任意定义在欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n}$ 上的二次可微实值函数 $f$，拉普拉斯算子（又称拉普拉斯算符，Laplacian）将 $f$ 映射为其梯度向量场的散度，即 $f$ 关于 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个正交基的 $n$ 个纯二阶偏导数之和。
与拉普拉斯算子类似，拉普拉斯–贝尔特拉米算子也定义为梯度的散度，它是一个线性算子，将函数映射为函数。
该算子可推广至张量场的情形：定义为协变导数（covariant derivative）的散度；或者，也可推广为作用在微分形式上的算子，使用散度与外微分（exterior derivative）定义。所得到的算子称为拉普拉斯–德拉姆算子（Laplace–de Rham operator），以乔治·德拉姆（Georges de Rham）的名字命名。
与普通拉普拉斯算子类似，拉普拉斯–贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）定义为（黎曼意义下的）梯度的散度： \[ \Delta f = \mathrm{div}(\nabla f)~ \] 在局部坐标下，可以给出其显式形式。
首先，设 $M$ 是一个定向黎曼流形（oriented Riemannian manifold）。 定向允许我们在 $M$ 上指定一个确定的体积形式（volume form），在定向坐标系 $\{x^{i}\}$ 下表示为： \[ \operatorname{vol}_{n} := \sqrt{|g|}\; dx^{1} \wedge \cdots \wedge dx^{n},~ \] 其中 $|g| := |\det(g_{ij})|$ 为度量张量（metric tensor）的行列式的绝对值， $dx^{i}$ 为与切丛基 \[ \partial_{i} := \frac{\partial}{\partial x^{i}}~ \] 对偶的 1-形式，符号 $\wedge$ 表示外积（wedge product）。
向量场 $\mathbf{X}$ 在流形上的散度（divergence）定义为满足以下条件的标量函数 $\nabla \cdot \mathbf{X}$： \[ (\nabla \cdot \mathbf{X}) \, \operatorname{vol}_{n} := L_{\mathbf{X}} (\operatorname{vol}_{n}),~ \] 其中 $L_{\mathbf{X}}$ 表示沿向量场 $\mathbf{X}$ 的李导数（Lie derivative）。
在局部坐标中，可得： \[ \nabla \cdot \mathbf{X} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \, \partial_{i} \left( \sqrt{|g|} \, X^{i} \right),~ \] 其中及以下均采用爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention），即对重复指标 $i$ 进行求和。
标量函数 $f$ 的梯度（gradient）是一个向量场 $\operatorname{grad} f$，它通过流形上的内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 定义为： \[ \langle \operatorname{grad} f(x), v_{x} \rangle = df(x)(v_{x}),~ \] 其中 $v_{x}$ 为锚定在点 $x$ 的切向量（即 $v_{x} \in T_{x}M$），$df$ 为函数 $f$ 的外微分（exterior derivative），它是一个作用于 $v_{x}$ 的 1-形式。
在局部坐标下，有： \[ (\operatorname{grad} f)^{i} = \partial^{i} f = g^{ij} \partial_{j} f,~ \] 其中 $g^{ij}$ 为度量张量 $g_{ij}$ 的逆矩阵分量，满足 $g^{ij} g_{jk} = \delta^{i}_{k}$，$\delta^{i}_{k}$ 为克罗内克 δ 符号（Kronecker delta）。
结合梯度与散度的定义，作用于标量函数 $f$ 的拉普拉斯–贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）在局部坐标下的表达式为： \[ \Delta f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \, \partial_{i} \left( \sqrt{|g|} \, g^{ij} \, \partial_{j} f \right)~ \] 若流形 $M$ 非定向（non-oriented），上述推导仍然完全成立，唯一的区别在于体积形式（volume form）需被体积元（volume element）所取代，即此时用密（density）而非微分形式来定义积分测度。由于梯度与散度本身并不依赖于定向的选择，因此拉普拉斯–贝尔特拉米算子 $\Delta$ 也独立于这种附加结构。
外微分算子 $d$ 与 $-\nabla$ 在形式上互为伴随（formal adjoints），其意义在于：对于任意紧支函数（compactly supported function）$f$， 有 \[ \int_{M} df(X) \, \operatorname{vol}_{n} = -\int_{M} f \, \nabla \cdot X \, \operatorname{vol}_{n},~ \] 其中最后一个等式可由\emph{斯托克斯定理}（Stokes' theorem）直接得出。
通过对偶化（dualization），可得： \[ \int_{M} f \, \Delta h \, \operatorname{vol}_{n} = -\int_{M} \langle df, dh \rangle \, \operatorname{vol}_{n}, \tag{2}~ \] 其中 $\langle df, dh \rangle$ 表示 1-形式 $df$ 与 $dh$ 在度量诱导下的内积。该式对所有紧支函数 $f$ 与 $h$ 成立。反之，式（2）可以完全刻画拉普拉斯–贝尔特拉米算子， 即它是唯一满足该性质的算子。
由此可知，拉普拉斯–贝尔特拉米算子是负定的（negative）且形式自伴的（formally self-adjoint），即对于所有紧支函数 $f$ 与 $h$，有： \[ \int_{M} f \, \Delta h \, \operatorname{vol}_{n} = -\int_{M} \langle df, dh \rangle \, \operatorname{vol}_{n} = \int_{M} h \, \Delta f \, \operatorname{vol}_{n}.~ \] 由于以上定义下的拉普拉斯–贝尔特拉米算子是负的而非正的，因此在许多文献与物理学中，常采用相反符号的定义，以使算子成为正定形式。
设 $M$ 为一个无边界的紧黎曼流形（compact Riemannian manifold without boundary）。考虑以下特征值方程： \[ -\Delta u = \lambda u~ \] 其中 $u$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征函数（eigenfunction）。
由前面所证的形式自伴性（formal self-adjointness）可知，特征值 $\lambda$ 必为实数。由于流形 $M$ 的紧性（compactness），可进一步证明特征值是离散的（discrete），并且每个特征值对应的特征函数空间（eigenspace）是有限维的。
取常数函数为特征函数可得 $\lambda = 0$ 是一个特征值。此外，由于我们考虑的是 $-\Delta$，经分部积分（integration by parts）可得 \[ \lambda \ge 0~ \] 更具体地，若我们将特征值方程两边同乘以特征函数 $u$，并在 $M$ 上积分（记 $dV = \operatorname{vol}_{n}$），则： \[ -\int_{M} (\Delta u)\, u\, dV = \lambda \int_{M} u^{2}\, dV~ \] 对左边的项应用散度定理（divergence theorem），并注意到 $M$ 无边界，得： \[ -\int_{M} (\Delta u)\, u\, dV = \int_{M} |\nabla u|^{2}\, dV~ \] 结合以上两式，可得： \[ \int_{M} |\nabla u|^{2}\, dV = \lambda \int_{M} u^{2}\, dV~ \] 从而结论 $\lambda \ge 0$ 立即成立。
Lichnerowicz 定理.
一个由 André Lichnerowicz 证明的重要结果指出：设 $M$ 为一个 $n$ 维（$n \ge 2$）紧黎曼流形，其 Ricci 曲率（Ricci curvature）满足下界： \[ \operatorname{Ric}(X, X) \ge \kappa\, g(X, X), \quad \kappa > 0,~ \] 其中 $g(\cdot, \cdot)$ 为度量张量（metric tensor），$X$ 为任意切向量。则第一个正特征值 $\lambda_{1}$ 满足不等式： \[ \lambda_{1} \ge \frac{n}{n-1}\, \kappa~ \] 该下界是锐的（sharp），并在球面 $\mathbb{S}^{n}$ 上取到。
事实上，在二维情形 $\mathbb{S}^{2}$ 上，$\lambda_{1}$ 的特征子空间是三维的，由坐标函数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$（即 $\mathbb{R}^{3}$ 的坐标函数限制到 $\mathbb{S}^{2}$ 上）所张成。在球坐标系 $(\theta, \phi)$ 下，令 \[ x_{3} = \cos \phi = u_{1}~ \] 由球面拉普拉斯算子的公式可直接计算得： \[ -\Delta_{\mathbb{S}^{2}} u_{1} = 2u_{1}~ \] 这表明 Lichnerowicz 定理的下界在二维情形下确实可以达到。
Obata 定理.
反之，Morio Obata 证明了如下结论：若 $M$ 是 $n$ 维紧黎曼流形且无边界，并且其第一个正特征值满足： \[ \lambda_{1} = \frac{n}{n-1}\, \kappa~ \] 则 $M$ 与半径为 \[ \sqrt{\frac{n-1}{\kappa}}~ \] 的 $n$ 维球面 $\mathbb{S}^{n}\!\left(\sqrt{\frac{n-1}{\kappa}}\right)$ 同构等距（isometric）。
这些命题的证明可见于 Isaac Chavel 的著作。类似的锐界（sharp bounds）也存在于其他几何情形中，例如紧致 CR 流形上的 Kohn 拉普拉斯算子（Kohn Laplacian, Joseph J. Kohn），其应用包括此类流形在复空间 $\mathbb{C}^{n}$ 中的整体嵌入问题。
拉普拉斯–贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）可以通过与 Levi-Civita 联络（Levi-Civita connection）相关的两次协变导数（iterated covariant derivative）的迹（trace，或称缩并 contraction）来表示。
设函数 $f$ 的 Hessian 张量为对称二阶张量： \[ \operatorname{Hess} f \in \Gamma(T^{*}M \otimes T^{*}M), \qquad \operatorname{Hess} f := \nabla^{2} f \equiv \nabla \nabla f \equiv \nabla df,~ \] 其中 $df$ 表示函数 $f$ 的外微分（exterior derivative）。
Hessian 的分量形式.
设 $X_{i}$ 是流形上切向量场的基（不一定来自坐标系），则 Hessian 的分量可写为： \[ (\operatorname{Hess} f)_{ij} = \operatorname{Hess} f(X_{i}, X_{j}) = \nabla_{X_{i}} \nabla_{X_{j}} f - \nabla_{\nabla_{X_{i}} X_{j}} f~ \] 显然，该式对每个参数 $X_{i}, X_{j}$ 都是线性的，因此确实是张量形式（tensorial）的表达。
与度量的缩并（trace）定义.
拉普拉斯–贝尔特拉米算子即为 Hessian 对度量的迹： \[ \Delta f := \operatorname{tr} (\nabla df) \in C^{\infty}(M)~ \] 更具体地，在点 $x \in M$ 处有： \[ \Delta f(x) = \sum_{i=1}^{n} \nabla df(X_{i}, X_{i}),~ \] 或用度量张量表示为： \[ \Delta f = \sum_{i,j} g^{ij} (\operatorname{Hess} f)_{ij}~ \]
抽象指标形式.
在抽象指标记号（abstract index notation）下，该算子常写为： \[ \Delta f = \nabla^{a} \nabla_{a} f~ \] 其中隐含的迹正是 Hessian 张量的缩并。
张量上的推广.
由于协变导数可自然地扩展到任意张量场，因此对任意张量 $T$，拉普拉斯–贝尔特拉米算子可定义为： \[ \Delta T = g^{ij} \left( \nabla_{X_{i}} \nabla_{X_{j}} T - \nabla_{\nabla_{X_{i}} X_{j}} T \right)~ \] 从而算子 $\Delta$ 在任意张量场上都是良定义的（well-defined）。
更一般地，可以在伪黎曼流形（pseudo-Riemannian manifold）上，对微分形式丛（bundle of differential forms）的截面定义一个拉普拉斯型微分算子。在黎曼流形上它是椭圆算子（elliptic operator），而在洛伦兹流形（Lorentzian manifold）上它是双曲算子（hyperbolic operator）。
拉普拉斯–德拉姆算子定义为： \[ \Delta = d\delta + \delta d = (d + \delta)^{2}~ \] 其中 $d$ 为外微分（exterior derivative）， $\delta$ 为\emph{余微分算子}（codifferential）， 在 $k$ 阶微分形式上作用为： \[ \delta = (-1)^{kn + n + 1} * d *~ \] 其中 $*$ 表示 Hodge 星算子（Hodge star）。一阶算子 $d + \delta$ 被称为 Hodge–Dirac 算子（Hodge–Dirac operator）\(^\text{[5]}\)。
在标量函数上的情形.
当作用于标量函数 $f$ 时，有 $\delta f = 0$，因此： \[ \Delta f = \delta\, df~ \] 除了整体符号外，拉普拉斯–德拉姆算子与前述的拉普拉斯–贝尔特拉米算子在作用于标量函数时是等价的。在函数上，拉普拉斯–德拉姆算子实际上是拉普拉斯–贝尔特拉米算子的相反数。这是因为按照常规的归一化方式，余微分 $\delta$ 的定义使得拉普拉斯–德拉姆算子是形式上正定的（formally positive definite），而拉普拉斯–贝尔特拉米算子通常是负的。这仅仅是符号约定问题（a matter of convention），两种定义在文献中都常见。
然而，拉普拉斯–德拉姆算子在限制作用于反对称张量（skew-symmetric tensors）时，与张量拉普拉斯算子（tensor Laplacian）存在本质差异。除符号外，它们通过一个显式涉及 Ricci 曲率张量（Ricci curvature tensor）的 Weitzenböck 恒等式（Weitzenböck identity）相互关联。
许多拉普拉斯–贝尔特拉米算子的具体实例都可以被显式地推导出来。
在欧几里得空间的标准正交坐标系 $x^{i}$ 中，度量张量退化为 Kronecker δ， 因而有：$|g| = 1$ 此时拉普拉斯–贝尔特拉米算子化为： \[ \Delta f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_{i} \left( \sqrt{|g|}\, \partial^{i} f \right) = \partial_{i} \partial^{i} f~ \] 即为通常意义下的拉普拉斯算子（ordinary Laplacian）。在其他曲线坐标系（如球坐标或柱坐标）下，可得到不同但等价的形式。
类似地，与签名 $(- + + +)$ 的闵可夫斯基度量（Minkowski metric）相对应的拉普拉斯–贝尔特拉米算子即为达朗贝尔算子（d’Alembertian）。
球面拉普拉斯算子是定义在 $(n-1)$ 维单位球面 $S^{n-1}$ 上的拉普拉斯–贝尔特拉米算子，该球面具有常曲率 $1$ 的标准度量（canonical metric of constant sectional curvature 1）。
为了方便起见，我们把球面视为嵌入欧几里得空间 $\mathbf{R}^{n}$ 中的单位球面， 其中心位于原点。若 $f$ 是 $S^{n-1}$ 上的函数，则球面拉普拉斯算子定义为： \[ \Delta_{S^{n-1}} f(x) = \Delta f\!\left(x/|x| \right)~ \] 其中 $f(x/|x|)$ 表示函数 $f$ 向 $\mathbb{R}^{n} \setminus \{0\}$ 的零次齐次延拓（degree-zero homogeneous extension），而 $\Delta$ 是欧几里得空间中的拉普拉斯算子。
由欧几里得拉普拉斯算子导出的形式.
根据球坐标中的欧几里得拉普拉斯算子公式： \[ \Delta f = r^{1-n} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^{n-1} \frac{\partial f}{\partial r} \right) + r^{-2} \Delta_{S^{n-1}} f~ \] 可以看出，球面拉普拉斯算子正是其径向分量之外的角向部分。更一般地，可以利用法丛（normal bundle）构造类似的技巧，从而在任意等距嵌入欧几里得空间的黎曼流形上定义其拉普拉斯–贝尔特拉米算子。
在球面上的内禀形式.
也可以在球面的内禀正则坐标系中给出拉普拉斯–贝尔特拉米算子的表达。设 $(\phi, \xi)$ 是球面上关于某个点 $p$（即 “北极点”）的球坐标，也即 $p$ 的测地极坐标（geodesic polar coordinates）。其中 $\phi$ 表示从 $p$ 沿单位速度测地线的纬度参数，$\xi$ 表示测地线方向在 $S^{n-1}$ 上的角参数。此时，球面拉普拉斯算子可写为： \[ \Delta_{S^{n-1}} f(\xi, \phi) = (\sin \phi)^{2-n} \frac{\partial}{\partial \phi} \left[ (\sin \phi)^{n-2} \frac{\partial f}{\partial \phi} \right] + (\sin \phi)^{-2} \Delta_{\xi} f~ \] 其中 $\Delta_{\xi}$ 是定义在 $(n-2)$ 维单位球面上的拉普拉斯–贝尔特拉米算子。
二维球面的特例.
特别地，对于二维单位球面 $S^{2}$，在标准球坐标 $(\theta, \phi)$ 下， 有： \[ \Delta_{S^{2}} f(\theta, \phi) = (\sin \phi)^{-1} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \sin \phi \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) + (\sin \phi)^{-2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}}f~ \] 这就是常见的球面拉普拉斯算子的标准表达式。
类似的构造方法也适用于双曲空间（hyperbolic space）。在这种情形下，$(n-1)$ 维双曲空间 $H^{n-1}$ 可以嵌入到 $n$ 维的闵可夫斯基空间（Minkowski space）中， 该空间是一个带有如下二次型的实向量空间： \[ q(x) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - \cdots - x_{n}^{2}.~ \] 于是双曲空间 $H^{n}$ 可表示为闵可夫斯基空间中 “未来光锥”（future null cone）的一个子集： \[ H^{n} = \{\, x \mid q(x) = 1,\; x_{1} > 1 \,\}.~ \]
嵌入定义.
对于定义在 $H^{n-1}$ 上的函数 $f$，其双曲拉普拉斯算子可表示为： \[ \Delta_{H^{n-1}} f = \left. \Box\, f\!\left( x/q(x)^{1/2} \right) \right|_{H^{n-1}}~ \] 其中 $f\!\left( x / q(x)^{1/2} \right)$ 表示 $f$ 向未来光锥内部的零次齐次延拓（degree-zero homogeneous extension），而 $\Box$ 为波动算子（wave operator）： \[ \Box = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} - \cdots - \frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}~ \]
极坐标形式.
该算子也可在极坐标中表示。设 $(t, \xi)$ 为双曲空间上的球坐标，其中 $t$ 表示某点 $p$（例如庞加莱圆盘中心）的双曲距离（hyperbolic distance），$\xi$ 表示测地线方向在 $S^{n-2}$ 上的参数。此时，双曲拉普拉斯算子可写为： \[ \Delta_{H^{n-1}} f(t, \xi) = \sinh\left(t\right) ^{2-n} \frac{\partial}{\partial t} \left[ \sinh\left(t\right) ^{n-2} \frac{\partial f}{\partial t} \right] + \sinh\left(t\right) ^{-2} \Delta_{\xi} f~ \] 其中 $\Delta_{\xi}$ 是定义在 $(n-2)$ 维单位球面上的拉普拉斯–贝尔特拉米算子。
二维双曲平面的特例.
特别地，对于双曲平面 $H^{2}$，在标准极坐标 $(r, \theta)$ 下， 有： \[ \Delta_{H^{2}} f(r, \theta) = \sinh\left(r\right) ^{-1} \frac{\partial}{\partial r} \left[ \sinh\left(r\right) \frac{\partial f}{\partial r} \right] + \sinh\left(r\right) ^{-2} \frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}~ \] 这一表达式与球面拉普拉斯算子的形式非常相似，只是将 $\sin$ 替换为 $\sinh$，反映出双曲几何与球面几何在曲率符号上的根本对称关系。