卡齐米日·库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）（综述）

                     

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图 1：1959 年的库拉托夫斯基

　　 卡齐米日·库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski，波兰语发音：[kaˈʑimjɛʂ kuraˈtɔfskʲi]；1896 年 2 月 2 日－1980 年 6 月 18 日）是一位波兰数学家和逻辑学家。他是华沙数学学派的主要代表人物之一，曾任华沙大学教授以及波兰科学院数学研究所（IM PAN）的研究员。1946 年至 1953 年间，他担任波兰数学学会会长。

　　 他以在集合论、拓扑学、测度论和图论方面的贡献而著称。以他名字命名的一些著名数学概念包括：库拉托夫斯基定理、库拉托夫斯基闭包公理、库拉托夫斯基–佐恩引理以及库拉托夫斯基交集定理。

1. 生平与事业

早年生活

　　 卡齐米日·库拉托夫斯基于 1896 年 2 月 2 日出生在华沙（当时属于受俄罗斯帝国控制的波兰会议王国）。他的父亲马雷克·库拉托夫是一名律师，母亲是罗莎·卡热夫斯卡。他在以保卫将军帕韦乌·赫沙诺夫斯基（Paweł Chrzanowski）命名的华沙中学完成中等教育。1913 年，他进入苏格兰的格拉斯哥大学学习工程学，部分原因是他不愿在俄语教学体系下学习——当时在波兰禁止使用波兰语授课【需要引用】。他仅学习了一年，第一次世界大战的爆发使进一步的学业中断。1915 年，俄军撤出华沙，华沙大学重新开学，并以波兰语作为教学语言。同年，库拉托夫斯基重返大学，这次主修数学。1921 年，他在新成立的第二波兰共和国获得博士学位。

博士论文

　　 1921 年秋，库拉托夫斯基因其开创性的研究工作获得博士学位。他的论文由两部分组成。第一部分致力于通过闭包公理建立拓扑学的公理化体系。这一部分（1922 年以略作修改的形式再版）被数百篇科学论文引用过 \(^\text{[1]}\)。

　　 库拉托夫斯基论文的第二部分研究的是 “两点间不可约连续体” 的问题。这一主题最初是齐格蒙特·亚尼谢夫斯基（Zygmunt Janiszewski）在其法语博士论文中的研究对象。由于亚尼谢夫斯基已去世，库拉托夫斯基的论文导师改由斯特凡·马祖凯维奇（Stefan Mazurkiewicz）担任。库拉托夫斯基的研究解决了比利时数学家夏尔-让·艾蒂安·古斯塔夫·尼古拉·德·拉瓦莱-普桑男爵（Charles-Jean Étienne Gustave Nicolas, Baron de la Vallée Poussin）在集合论中提出的若干问题。

二战前的学术生涯

　　 两年后的 1923 年，库拉托夫斯基被任命为华沙大学数学系副教授。1927 年，他受聘为利沃夫理工大学（Lwów Polytechnic）的数学正教授，并一直担任该校数学系主任至 1933 年。库拉托夫斯基还曾两度出任该系的院长。1929 年，他成为华沙科学学会的成员。

　　 虽然库拉托夫斯基与利沃夫数学学派的许多学者，如斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）和斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆（Stanisław Ulam），以及以苏格兰咖啡馆（Scottish Café）为中心的一群数学家有着密切的学术往来，但他始终与华沙保持紧密联系。1934 年，库拉托夫斯基离开利沃夫返回华沙，那是在著名的《苏格兰问题集》（Scottish Book）开始编写（1935 年）之前，因此他并未向其中贡献任何问题。然而，他确实与巴拿赫在测度论的重要问题上有过密切合作 \(^\text{[2][3]}\)。

　　 1934 年，他被任命为华沙大学教授。一年后，库拉托夫斯基被任命为数学系主任。1936 年至 1939 年间，他担任波兰科学与应用科学委员会数学委员会秘书。

战时与战后

　　 第二次世界大战期间，由于德国占领当局禁止波兰人接受高等教育，库拉托夫斯基在华沙的地下大学秘密授课。

　　 1945 年 2 月，华沙大学重新开学后，库拉托夫斯基开始在该校讲授课程。同年，他成为波兰学习科学院（Polish Academy of Learning）院士。1946 年，他被任命为华沙大学数学系副主任，1949 年起，他当选为华沙科学学会副会长。1952 年，他成为波兰科学院（Polish Academy of Sciences）院士，并在 1957 年至 1968 年间担任该院副院长。

　　 二战后，库拉托夫斯基积极参与波兰科学界的重建。他协助创立了国家数学研究所（State Institute of Mathematics），该机构于 1952 年并入波兰科学院 \(^\text{[4]}\)。1948 年至 1967 年间，库拉托夫斯基担任波兰科学院数学研究所所长，同时长期担任波兰数学学会及国际数学学会的主席。他还在 1963 年至 1966 年间担任国际数学联盟（International Mathematical Union）副主席，并于 1968 年至 1980 年出任国家数学研究所科学委员会主席。1948 年至 1980 年间，他一直领导该院的拓扑学部门。

　　 他的学生之一是著名逻辑学家兼集合论学者安杰伊·莫斯托夫斯基（Andrzej Mostowski）。

2. 遗产与影响

　　 卡齐米日·库拉托夫斯基是著名的波兰数学家群体成员之一，他们常在利沃夫的 “苏格兰咖啡馆”（Scottish Café）聚会讨论数学问题。他曾任波兰数学学会（Polish Mathematical Society, PTM）会长，也是华沙科学学会（Warsaw Scientific Society, TNW）的成员。此外，他还担任《数学基础》（Fundamenta Mathematicae）的主编——该刊属于《波兰数学学会年刊》（Annals of the Polish Mathematical Society）系列出版物。与此同时，库拉托夫斯基还担任《波兰科学院公报》（Bulletin of the Polish Academy of Sciences）的编辑之一。他也是《数学专著》（Mathematical Monographs）系列丛书的主要撰稿人之一，该系列由波兰科学院数学研究所（Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences, IMPAN）合作出版。该丛书收录了来自华沙学派和利沃夫学派的高质量研究专著，内容涵盖纯数学与应用数学的各个领域。

　　 卡齐米日·库拉托夫斯基还是多个科学学会及国外科学院的活跃成员，其中包括爱丁堡皇家学会，以及奥地利、德国、匈牙利、意大利和苏联（USSR）的学术机构。

卡齐米日·库拉托夫斯基奖

　　 1981 年，波兰科学院数学研究所（IMPAN）、波兰数学学会以及库拉托夫斯基的女儿佐菲娅·库拉托夫斯卡（Zofia Kuratowska）共同设立了以他名字命名的奖项——库拉托夫斯基奖，用于表彰 30 岁以下在数学领域取得杰出成就的青年学者 \(^\text{[5]}\)。该奖被认为是授予年轻波兰数学家的最高荣誉之一。历届获奖者包括约瑟夫·H·普日蒂茨基（Józef H. Przytycki）、马留什·莱曼奇克（Mariusz Lemańczyk）、托马什·武恰克（Tomasz Łuczak）、米科瓦伊·博扬奇克（Mikołaj Bojańczyk）以及沃伊切赫·萨莫季（Wojciech Samotij）等 \(^\text{[5]}\)。

3. 研究

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图 2：无需文字的证明：利用库拉托夫斯基定理或瓦格纳定理，通过在超立方体图中找到 K₅（上图）或 K₃,₃（下图）子图，证明其为非平面图。

　　 库拉托夫斯基的研究主要集中于抽象拓扑与度量结构。他提出并形式化了闭包公理（在数学界被称为库拉托夫斯基闭包公理），这一体系为拓扑空间理论及 “两点间不可约连续体理论” 的发展奠定了基础。战后，库拉托夫斯基最重要的研究成果之一是关于拓扑学与解析函数（理论）之间关系的研究，以及欧几里得空间切割问题领域的探索。

　　 在利沃夫时期，他最杰出的学生之一乌拉姆（Ulam）与他合作，引入了所谓的拟同胚（quasi-homeomorphism）概念，为拓扑学研究开辟了一个全新的方向。库拉托夫斯基在测度论方面的研究（包括与巴拿赫和塔斯基的合作）被许多学生进一步发展。此外，他与阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）及瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）共同构建了关于波兰空间（Polish spaces）的大部分理论——这些空间的名称正是为了纪念他们的贡献与学术遗产。克纳斯特（Knaster）与库拉托夫斯基还对连通分支理论进行了系统而精确的研究，并将其应用于诸如平面切割问题等领域，其中包括一些连通分支的悖论性实例。

　　 1922 年，库拉托夫斯基证明了后来被称为库拉托夫斯基–佐恩引理（Kuratowski–Zorn Lemma）的结果（通常简称为佐恩引理）\(^\text{[6]}\)。这一结果与许多基础数学定理密切相关。1935 年，佐恩（Zorn）给出了该引理的应用 \(^\text{[7]}\)。库拉托夫斯基在集合论与拓扑学中引入了许多重要概念，并在多个领域建立了新的术语与符号体系。他对数学的主要贡献包括：

　　 库拉托夫斯基战后的研究主要集中在三个方向：

4. 出版著作

　　 库拉托夫斯基发表的 170 多篇作品中，包括多部重要的专著与书籍，如《拓扑学》（Topologie，第一卷 1933 年出版，被译为英文和俄文；第二卷 1950 年出版）以及《集合论与拓扑学导论》（Introduction to Set Theory and Topology，第一卷 1952 年出版，被译为英文、法文、西班牙文和保加利亚文）。他还著有《波兰数学的半个世纪：1920–1970 回忆与反思》（A Half Century of Polish Mathematics 1920–1970: Remembrances and Reflections，1973 年）\(^\text{[10]}\) 与《自传笔记》（Notes to his autobiography，1981 年）。后者在他去世后由其女儿佐菲娅·库拉托夫斯卡（Zofia Kuratowska）整理出版。

　　 卡齐米日·库拉托夫斯基曾代表波兰数学界参与国际数学联盟（International Mathematical Union）的工作，并在 1963 年至 1966 年间担任副主席。此外，他还多次参加国际学术大会，并在世界各地数十所大学讲学。他被授予格拉斯哥大学、布拉格大学、弗罗茨瓦夫大学及巴黎大学的名誉博士学位，并获得波兰最高国家荣誉、捷克斯洛伐克科学院金质奖章以及波兰科学院金质奖章。库拉托夫斯基于 1980 年 6 月 18 日逝世于华沙。

　　 库拉托夫斯基，卡齐米日；莫斯托夫斯基，安杰伊（1976）[1968]，《集合论：含描述集合论导论》，载于《逻辑与数学基础研究》（Studies in Logic and the Foundations of Mathematics），第 86 卷（第二版），阿姆斯特丹–纽约–牛津：北荷兰出版社（North-Holland Publishing Co.），MR 0485384。

5. 参见

6. 注释

  1. Kuratowski 1922.
  2. MacTutor 文章：Kazimierz Kuratowski.
  3. 《[www.day.kyiv.ua》文章：“苏格兰笔记本：利沃夫的数学遗产”。](http://www.day.kyiv.ua》文章：“苏格兰笔记本：利沃夫的数学遗产”。)
  4. “历史”。impan.pl。存档于 2024 年 12 月 25 日，访问于 2024 年 12 月 7 日。
  5. “卡齐米日·库拉托夫斯基奖”。波兰科学院数学研究所（波兰语）。存档于 2020 年 11 月 7 日，访问于 2017 年 7 月 19 日。
  6. Fundamenta Mathematicae 第 3 卷，第页。
  7. Bulletin of the American Mathematical Society，第 41 卷，第页。
  8. Kuratowski 1921，第 171 页。
  9. Kuratowski 1920。
  10. Kuratowski 1980。

7. 参考文献

8. 外部链接

                     

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