赫尔德条件

                     

贡献者： lrqlrqlrq

　　 $n$ 维欧几里得空间上的实值或者复变函数 $f:A\to B$ 被称为指数为 $\alpha$ 的赫尔德（Hölder）函数，若满足赫尔德条件（也称赫尔德连续）如下：

　　 如果存在某个非负常数 $c\ge 0$，使得有：

当 $\alpha =1$ 时，$f$ 又称作利普希茨函数，满足利普希茨（Lipschitz）条件（连续）也就是： 如果对于 $0<c_1\le c_2<\mathrm{\infty }$: 这时无论是 $f$ 还是其逆 $f^{-1}:f(A)\to A$ 都是利普希茨函数，因此我们将其称作双利普希茨函数。

　　 对于任意 $\alpha >0$，该条件表明函数是一致连续的。对于实线上的有界且闭的非平凡区间上的函数，我们有以下一系列严格包含项：当 $0<\alpha \le 1$，连续可微 $\subset$Lipschitz 连续 $\subset \alpha$-Hölder 连续 $\subset$ 一致连续 $\subset$ 连续。

1. Hölder 空间

　　 Hölder 空间是由满足 Hölder 条件的函数组成，它是偏微分方程和动力系统相关的泛函分析领域的基础。

　　 我们将 Hölder 空间记作

其中 $\omega$ 是欧式空间上的一个开子集，并且有非负整数 $k\ge 0$。Hölder 空间包含在 $\omega$ 上那些 $k$ 阶连续可导的函数，使得其第 $k$ 阶的偏微分都是指数为 $\alpha$ 赫尔德连续的，其中 $0<\alpha \le 1$。