赫尔德条件
贡献者： lrqlrqlrq
$n$ 维欧几里得空间上的实值或者复变函数 $f:A \rightarrow B$ 被称为指数为 $\alpha$ 的赫尔德（Hölder）函数，若满足赫尔德条件（也称赫尔德连续）如下：
如果存在某个非负常数 $c\geq 0$，使得有：
\begin{equation}
|f(x)-f(y)|\leq c|x-y|^\alpha,\ \forall x,y \in A~.
\end{equation}
当 $\alpha=1$ 时，$f$ 又称作利普希茨函数，满足
利普希茨（Lipschitz）条件（连续）也就是：
\begin{equation}
|f(x)-f(y)|\leq c|x-y|,\ \forall x,y \in A~.
\end{equation}
如果对于 $0< c_1\leq c_2<\infty $:
\begin{equation}
c_1|x-y|\leq |f(x)-f(y)|\leq c_2|x-y|,\ \forall x,y \in A~.
\end{equation}
这时无论是 $f$ 还是其逆 $f^{-1}:f(A)\rightarrow A$ 都是利普希茨函数，因此我们将其称作双利普希茨函数。
对于任意 $\alpha > 0$，该条件表明函数是一致连续的。对于实线上的有界且闭的非平凡区间上的函数，我们有以下一系列严格包含项：当 $0<\alpha\leq 1$，连续可微 $\subset$Lipschitz 连续 $\subset\alpha$-Hölder 连续 $\subset$ 一致连续 $\subset$ 连续。
1. Hölder 空间
Hölder 空间是由满足 Hölder 条件的函数组成，它是偏微分方程和动力系统相关的泛函分析领域的基础。
我们将 Hölder 空间记作
\begin{equation}
C^{k,\alpha}(\omega)~.
\end{equation}
其中 $\omega$ 是欧式空间上的一个开子集，并且有非负整数 $k\geq 0$。Hölder 空间包含在 $\omega$ 上那些 $k$ 阶连续可导的函数，使得其第 $k$ 阶的偏微分都是指数为 $\alpha$ 赫尔德连续的，其中 $0<\alpha\leq 1$。